SÉANCE DU 26 SEPTEMBRE 1921. 5l3 



nouveaux de la courbe. Nous nous bornerons ici à un type très spécial de 

 description d'une cubique G3, en partant du théorème que voici : 



Si, par un groupe donné G9 de neuf éléments simples a,, a^, . . ., a,, d'une 

 cubique C3, on fait passer deux sextiques triquadraliques XgEEsX^X^X"' et 

 Yc^= Y', Y!,' Y',", qui se coupent au surplus en dix-sept points d^,d^, ..., d^^ 

 d'une cubique dégénérée Z.,e=Z, Z^, les sextiques se rencontrent en un dix- 

 huitième point d ^^ de cette courbe, tandis que leurs neuf intersections résiduelles 

 a^^^, rt, ,, . . ., «,s forment un groupe G,', d'autant de points nouveaux de G.,. 



En supposant que les dix-huit intersections de X^ (ou Y^,) avec Z^ soient 

 distinctes, Texistence du point r/,s résulte d'une proposition classique de 

 Cayley ('), mise au point par Bacharach (-), et l'apparition du groupe G', 

 est dès lors une conséquence d'un théorème bien connu de Gergonne ('). 

 Analytiquement on obtient une identité de la forme (') 



(1) x!,\yxyi-^ Y!^YyY^"4-z,z,.C3=o. 



Gela étant, examinons la question de l'existence àt l'identité (i) dans les 

 conditions bien définies où nous voulons interpréter cette forme. Or les 

 dix-huit points a (supposés distincts, pour fixer les idées) communs à X^,, 

 Yg et C3, sont soumis à six premières relations provenant de la décompo- 

 sition de Xe et Yfi en trois coniques. Mais, d'après une nouvelle application 

 du théorème de Cayley-Bacharach, l'une quelconque de ces six relations est 

 une conséquence nécessaire des cinq restantes. En second lieu, le fait de la 

 décomposition de Z3 en une droite Z, et une conique Z^ introduit deux 

 relations nouvelles entre les points du groupe considéré G, 3. D'où un total 

 de sept relations indépendantes, laissant libres onze points sur G3, dont il 

 faut encore déduire les neuf points du groupe donné G,,, pour obtenir le 

 nombre des points réellement arbitraires de G, s- 



Ainsi, les modes de génération éventuels donnés par le théorème ci-dessus ^ 

 qui a maintenant un sens bien précis^ sont caractérisés, dans les conditions les 

 plus générales et les plus simples (^), par V apparition de\=^ 1 points généra- 

 teurs, qui répondent aux deux paramètres indépendants de r identité (i). 



L'existence des deux éléments générateurs indépendants conduit à une 



(') Cambridge, Math. Journal^ t. 3, p. 211. 



C) Voir, par exemple, Math. Ann.. l. 26, p. 276 et suivantes. 



(^) Annales, t. 17, p. 220. 



{'*) NoETHER, Math. Ann., t. 6, p. 35i. 



(') Quand une des coniques Xj, Yj, Zj dégénère, il ne subsiste qu'un seul élément 

 générateur Çk =: i). Même conclusion si l'on astreint Z3 à traverser un point de Gg. Ce 

 dernier cas provoque l'apparition de points doubles et exige une élude toute spéciale. 



