5l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



génération doublement continue de la cubique C3. Désignons par x^ et .r.;, 

 deux points quelconques qui correspondent aux deux paramètres arbitraires 

 de (i) et représentons par w(A^By) la dernière, et par (ow(ApB^) les deux 

 dernières des intersections des courbes A^et B^. On réalise successivement, 

 par exemple, les courbes et les points 



X!^ =: «1 «2 <^h '"'4^1. X'2' z= «5 a^a-ja^ .r., , Y'^ =. a^n^ar, f(& «., . 



d^ et cl^ — w,){X\_Y\), Z^ — dyd., 



d^=z (l'une quelconque des deux intersections de X!>' avec Z,), 



Y'^ — a, a,a,a^ d, . d, el d,= wo) ( X!.' Y!. ) . ^„ = w ( Xl^ Y!.' ) . 



d-, ei d^—wt,i{\\Y^l), 7..= d,d^d,d^d^, d,z= c^iW^Z^), 



dio=o){Y\}7.,). J,, et o^i,=:o>w(YÎ,Z,), W\^= a,d^d,,d,,d,,_. 



Ensuite 



./,3=G)(z,xy), ^i4=G3(z,x!.»), ^,,= (,)(Z,xij), 



d^,■ et di-,=^bm{Zn\\). Y!J"= «^i:i<^i4<^i5<^if,'^i7 '• 



enfin 



^,«.= (o(Z,Y'j«), 



ce point appartenant, d'après le théorème ci-dessus, à la conique X"'. 



D'où, par des constructions exclusivement linéaires et quadratiques, les 

 neuf points suivants: r-f,„ = co(X!"Yt), «,, et cr,., =: coaj(X'"\"), «,3 

 et a,,= oxo(X',Y';'), a,, et «,« = wco(X^'Y'"), a,, et ^,, = (ow(X'^' Y'" ), 

 qui sont autant d'élémenls nouveaux de C^. Les trois premiers se réalisent 

 indépendammenl de Y'", tandis que les six derniers s'obtiennent par 

 l'intervention directe de cette conique (* j. Le premier, «,oj est d'ailleurs 

 commun à tous les groupes nouveaux, C^, en nombre doublement infini, 

 qu'on obtient en faisant varier, indépendamment l'une de l'autre, les 

 coniques X!, et X". Au surplus, les droites a^^, n^.,, «,3, a,^, «,5, «,o 

 rencontrent C3 en les points fixes/, ,/., /g, dont la position est déterminée 

 par deux couples (X',, X"). 



Ainsi, l'identité du sixième « ordî^e » (i) conduit effectivement à quatre 

 points fixes a,o, /',, J.^, /^ et à cc^ groupes de huit points nouveaux 

 a^ ^, «12, . . ., afg de la cubique Cg (-). 



(^) La construction qui donne les points a^o, a^, ajo rentre dans une classe très 

 étendue de modes de génération, ceux-ci se rapportant à des identités à interprétation 

 partielle et d'un « ordre » aussi élevé que l'on veut. 



(-) Il existe une identité du cinquième ordre, à paramètre indépendant unique 

 (). z=i) et qui conduit aussi à des modes de génération très remarquables de C3. 

 Quant aux identités du quatrième ordre, elles ne se prêtent pas à une génération 

 continue de G,, sauf dans le cas d'une cubique unicursale, dont le point double figure 

 parmi les éléments donnés définissant la courbe. 



