SÉANCE DU 26 SEPTEMBRE I921. 5l5 



En ce qui concerne les éléments intermédiaires d., à û?, g, ils se déterminent 

 en faisant appel à des problèmes connus qu'on peut d'ailleurs, en partant 

 de certaines identités, traiter par une méthode analogue à celle ci-dessus. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur qudqucs propriétés (h's fonctions croissantes . 

 Note (' ) de M. Théodore Varopoulos, transmise par M. Hadamard. 



1. Dans son Mémoire ("), M. Borel a démontré un théorème sur les 

 fonctions croissantes 9(x) tendant vers l'infini avec x et continues, savoir : 



Etant donné un nombre positif quelconque et supérieur à r unité, s'il 

 existe des relieurs de x ne satisfaisant pas à l'inégalité 



logcp( x) 



ces imleurs remplissent des intervalles d'étendue totale finie. La longueur totale 



d^une suite d'' intervalles exceptionnels situés à droite d'une valeur x^ ne 



,, j ' • , B I 

 dépasse pas La quantité 7, -, — - • 



Autrement dit : 



V addition de ■. ; — à x n^dtère pas V ordre de croissance de la fonction 



croissante o(x)j sauf peut-être dans des intervalles d'étendue totale finie. 

 2. Le théorème ci dessus énoncé suggère le problème intéressant suivant : 

 Chercher les quantités — —— les plus générales, indépendantes de la 



fonction 9 (.37) dont F addition à x n'altère pas la croissance de la fonction 

 donnée z>(x). 



J'ai entrepris des recherches dans cette voie, encouragé par M. Hadamard, 

 et j'ai pu obtenir les résultats suivants : 



I. Théorème. — Si la fonction croissante positive m(x) est assujettie à la 

 condition que la série 



{xo étant une certaine valeur de x) 



^^m{x) 



converge, toute fonction 9 (a?) croissante continue vérifie l'inégalité 



co X ~\ ; — - <rco(:r)]\ 



' [ m( X ) ] ' 



(') Séance du 19 septembre 1921. 



(-) Sur les zéros des fonctions entières {Acla mathematica, t. 20, 1897). 



