5l6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



6 étant un nombre positif quelconque et supérieur à V unité, parlout sauf peut- 

 être dans des intervalles exceptionnels d'étendue totale f nie. 



Ce théorème répond complètement à notre problème. 



Nous pouvons par exemple choisir 



m {x) =1 .r log.'r logo j: . . . (logva')'+^ (c > o), 



étant doimé que la série de Bertrand V — j -. -r- . convero^e. 



^ -1^ .îMog.r . . . (log.;.r j'"^' '-' 



Dans les cas, très o:énéraux d'ailleurs, où la série 7, ; -, — r converge, 



5 & ' ,^ log©(j;) ^ ' 



nous pouvons bien choisir les quanlités de façon que — ■ — soit plus 



grand quCj —^i et alors cela nous fait gagner en grandeurparco (jue nous 



ajoutons à x des quanlités plus grandes sans altérer la croissance de la 

 fonction 9(^); par conséquent l'importance de notre théorème est évidente. 



Donnons-nous, en eflet, un exemple : soit '^{x) = e"'' ; d'après le théo- 

 rème de M. Bore!, il faut aioulerla quanlité — - = — -, mais puisque les 



' j 1 logea (j:0 e' 



séries 7 ; ■ — ? 7 — convererent, alors nous pouvons choisir m(x) = e^ 



.^Jlogcp(.r) ^J e' r> 1 i \ / 



et ainsi nous ajoutons à x la quantité — plus grande que -, ; — r- 



'' ^ c' ^ ^ y log(p(.r) 



3. Le théorème que nous venons d'énoncer est général, en ce sens qu'il 

 concerne les croissances o(^) aussi rapides que l'on veut. 



Si nous nous bornons à une classe de fonctions croissantes o(^) qui 

 vérifie à partir d'une certaine valeur de x^ l'inégalité 



log9(./') < ax 



(a étant une constante positive), nous arrivons à l'énoncé suivar^l : 

 II. Théorème. — Pour toutes les croissantes ^(^x^ telles que 



log03(.r) <i ajc 

 (« ^ o quelconque), nous avons rinégalilé suivante : 



9|:r + j^(.r)]<9(./-)^ 



6 étant un nombre positif quelconque et supérieur à l'unité, partout sauf une 

 suite d'intervalles exceptionnels dont la longueur est finie, ^{x) étant une 

 fonction décroissante quelconque. 



L'intérêt de ce théorème réside dans le fait que nous ne faisons aucune 

 hypothèse sur les fonctions décroissantes ]J-{oc). 



