5l8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pj désignant une série entière convergente à coefficients constants. Si le point tourne 



dans son plan, autour du point a. d'un angle multiple impair de tt, (2N + Ott, et que 



dans le mouvement prolongé l'angle 6* continue à croître au-delà de la valeur a, le 



point M passe d'un arc de la branche d'hyperbole primitive à Tare de la seconde 



branche de la même hyperbole ayant même asympîote; le mouvement prolongé est 



nécessairement répulsif. Si, au contraire, le point B tourne autour du point a d'un 



angle multiple pair de tt, 2 N7r(N :;^ 0), et que daus le mouvement prolongé l'angle Q 



reprenne en sens inverse les valeurs infi-rieures à a, le point M décrit à nouveau, en 



sens i^^erse, la branche d'hvperbole primitive. JJcins les deux sortes de mouvements 



prolongés, le point l décrit dans son plan une droite parallèle (') à l'axe réel, d'or- 



, ('jN^Oti 2N7: 



donnée ou 



n n 



Il exiaie donc une infinité de prolongenienls analytiques du mouvement hyper- 

 bolique de deux corps, où les coordonnées cartésiennes ont des valeurs réelles, 

 mais oii le temps a des valeurs imaginaires. 



Quand le point M sur sa nouvelle trajectoire s'éloigne indéfiniment le long de la 

 seconde asymptote, le mouvement peut encore êlre prolongé par un mouvement ayant 

 lieu sur l'une ou l'autre branche d'hyperbole. Et ainsi de suite. On peut se donner 

 arbitrairement une suite, périodique ou non périodique, de nombres entiers positifs 

 pour représenter les nombres de fois que, successivement et alternativement, le 

 point M parcourt l'une et l'autre branche d hyperbole. Dans tous les cas, il n'est pas 

 question de stabilité à la Poisson. Le circuit décrit par le point t dans son plan, com- 

 posé de l'axe réel et d'une infinité de droites parallèles à cet axe, peut aussi êlre 

 périodique. 



Dans le problème des trois corps, les trajectoires non exceptionnelles (les 

 setiles de la stabilité desquelles on puisse tirer des conséquences pratiques) 

 ou bien possèdent la stabilité à la Poisson sans être prolongées analytiquement 

 au-delà de la valeur infinie du temps ^ ou bien ne sont pas susceptibles d'être pro- 

 longées par des trajectoires réelles (-). J'ai distingué plusieurs sortes de mou- 

 vements (^) quand le temps croît indéfiniment. 



(') Si les coordonnées cartésiennes et leurs dérivées par rapport au temps sont 

 réelles, la dilTérentielle dt est réelle, et le temps t varie nécessairement dans le plan 

 complexe sur une parallèle à l'axe réel, sinon sur l'axe réel. Dans n'importe que! mou- 

 vement on peut ajouler au temps une constante quelconque, réelle ou imaginaire, 

 sans changer autre chose que l'origine ou la notation du temps, mais ici lé temps 

 suivi dans le prolongement analylique ne peut être réel à la fois dans le mouvement 

 primitif et dans le mouvement prolongé. 



(^) En définitive ce résultat, négatif à un certain point de vue, est dû à la nature 

 du point singulier t ^= 00 des coordonnées cartésiennes avec la loi de Newton. 



(•*) Comptes rendus, t. 170,~ 1920, p. i56o. 



