522 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



D'après la loi de gravitation de M. Einstein nous avons 



d\f _ J_ dlîf ùf n, ùWj df H, dWj i\f ^ 

 dx) H,- ôxi ùxi Hj ùxf dxj Wj. dxi- dx/^ 



(3) <j^/ ^ . ^n,- âf ^ 1 ^11, df 



âxi âxj H, âxj ôxi Hj dxi dxj 

 Des équations (i) et (2) nous déduisons 



(11) fe~^îîf "^lf|==' ^'"' ".Q.+ H-3Q2+H.3Q3 = o), 



c'est la première condition nécessaire pour l'existence de la fonction /', 

 exprimant que la courbure de Tespaceest nulle ('). 



Si nous écrivons les conditions d'inlégrabiiité des systèmes (2) et (3), 

 nous obtenons six équations de la forme 



(4) L,,^-M;,-/ = o (■'■■/ = '-.^'' 



•^ oxi ' '' \ iy=- 1 



où 



^'" H, ^ H, ^ ^' 



Nous avons donc /« deuxième condition nécessaire : 



(') En conséquencs de celte condition, l'espace vide ayant l'éléinenL linéaire 

 du- = E ( jTi , X.;,) dx] -+- G ( .r, , x., ) dx\ -\- dxi 

 est euclidien. Et il n'existe ni espace spliéri(jne vide 



d^''' =^ dx'î -\- cos-.r[ dx\ + co?rx^ cos-a^, dx\, 

 ni espace hyperbolique vide 



d'j^- =i dx\ -{- cli-a:, dxl -+■ ch-j;, cli^^j dxl. 

 (2) En général Ly/p^L,;, M,;,^' jVl,y. 



