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de a:,, x„, de u, et de ses dérivées, tant que (x,, ..., jr„) reste dans un 



domaine réel D et un peu au delà, et que u et ses dérivées des deux premiers 

 ordres restent dans un champ de variation 3, comprenant la valeur z-éro 

 de // et desdites dérivées. On suppose en outre que, dans les mêmes condi- 

 tions, l'équation est elliptique, c'est-à-dire que les dérivées premières de / 

 par rapport aux dérivées secondes de u sont les coefficients d'une forme 

 quadratique définie positive; de plus, on suppose/,', <C o. 



Cela étant, on peut trouver un nombre o tel que si, sur un contour C 

 régulièrement analytique intérieur à une liypersphère de rayon o intérieure 

 à D, ou se donne une suite analytique de valeurs to(y.^, ..., a„^,) où a,, ..., 

 7.„_, sont les paramètres fixant la position d'un point de C, et où t est un 

 coefficient varialde, /'équation (i) admet, dèsque t est assez petit, une solution 

 et une seule liolomojphe sur C el à son intérieur et prenant sur C les valeurs 

 to(y.f^ ..., a„_,)(M et ses dérivées ne sortant pas de Z supposé convexe). 



Pour trouver cette solution, on néglige dans (i) les termes de degré 

 supérieur au premier dans le développement en série de puissance de u et 

 de ses dérivées; on obtient une équation linéaire et homogène, dont on 

 cherche la solution u^ prenant sur C les valeurs ;ç. Ensuite, d'une manière 

 générale, connaissant u,^, on remplace dans (i) u par u„-^ h et l'on néglige 

 les termes du second degré par rapport à // et à ses dérivées; on obtient une 

 équation linéaire et non homogène dont on cherche la solution /?„+, prenant 

 sur G, des valeurs nulles; on pose alors //„+, = w„-l- //«-h,. Et ainsi de suite. 

 Dans les conditions indiquées w,,, //,, . .., ?/„, ..., tendent vers une limite m, 

 solution du problème posé. On voit que cette manière d'appliquer les 

 approximations successives de M. J*icard est fort analogue à la méthode de 

 Newton pour résoudre les équations dont l'inconnue est un nombre. 



Pour la démonstration, considérons toutes les équations du type ellip- 

 tique 



n n II " 



(-) 2, 2.^''''d^:;d^-^2^''d^. + ^" = ^ («/./. >o,e<o) 



à coefficients holomorphes dans le même domaine débordant D que/. On 

 suppose que ces coefficients et leurs dérivées jusqu'à l'ordre /z h- i satisfont 

 à certaines inégalités, remplies en particulier par les coefficients analogues 

 de /(leurs valeurs absolues doivent être limitées supérieurement; certains 

 déterminants doivent être supérieurs à des nombres positifs fixes, etc.). De 

 plus, si (y.\, y.[, .. ., a^^) est un point de D, on suppose que les développe- 

 ments de ces coefficients en séries de puissances des X;, — x). ont pour majo- 



