SÉANCE DU 3 OCTOBRE I921. 545 



rante 



Mn r, 



' R 



OÙ M est un nombre fixe et R un nombre variable que l'on pourra faire 

 tendre vers zéro sans changer les autres hypothèses. On exige enfin que les 

 inégalités satisfaites par les coefficients et leurs dérivées jusqu'à l'ordre 

 n -h I soient satisfaites aussi dans ces systèmes de cercles de rayon R. 



Cela étant, on constate qu'on peut déterminer des nombres fixes et i>- 

 tels que la fonction T servant à M. Hadamard (' ) à la formation de la solu- 

 tion fondamentale de (2) soilholomorphe dès que (^r,, ...^jc^) et (a,, ...,a„) 

 étant intérieurs à D, leur distance est inférieure à 20 et, en outre, les rayons 

 de cojivergence associés du développement de T en série de puissances des 

 Xm—x[ sont supérieurs à gR. Une modification du développement de 



M. Hadamard prouve ensuite que Ton peut en dire au tan l de GF^^, où G 

 est la solution fondamentale. Puis les intégrales de la valeur absolue de G, 

 étendues à l'intérieur de C ou à ce contour, sont inférieures à des noLibrey 

 fixes. Enfin, dans les mêmes réglons que pour V et G, il existe des fonctions 

 holomorphes A 1,1 telles que 



n 



ôG ^ dCt 



rexisteiicc des A^y n'est démontrée que pour n impair; mais, si n est pair, 

 on peut facilement introduire une variable de plus. 



A Faide de ces préliminaires, on démontre que, si 'l admet, dans le voisi- 

 nage de tout point intérieur à C ou situé sur C. la fonction majorante 



(3) 



-^ FI 



{0<lJ.<l) 



[type de majorante introduit par M. Gevrey (-)], et si u est nul sur C, les 

 dérivées secondes de // admelLenl une majorante du même type où R est 



remplacé par 7R (y < ^- < i) et H par ^, où A dépend seulement de y et 



des hypothèses sur les coefficients et nullement de R. 



(') Hadamard. Recherches sur tes solutions fondamentales, etc. {Ann. scient, de 

 l'Ecole Normale supérieure, t. 21, p. 535). 



(-) (irEVKEV, Sur la nature analytique, etc. {Ann. scienl.de l'École iSormale supé- 

 rieure, t. 3o, p. 129). 



