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Si (3) est la majorante du résultat de la substitution de //, dans/, on a 

 .pour/?, le résultat qui vient d'être dit. En substituant z/, dans /", le coeffi- 

 oient H de (3) est à remplacer par — j^v"' ^^^ ^ ^^^ ^^^- nouvelle constante, 

 ainsi que le prouve une légère modification du raisonnement de M. Gevrey; 

 R reste remplacé par yll. Pour a., ces nombres deviennent alors 



cl ainsi de suite. Pour ^„, on trouve que ces nombres devieiment 





y- 



Or II, qui est proportionnel à i-, est aussi petit que l'on veut; on voit 

 donc que la convergence a lieu pour 



^ A^B' 



on voit en outre que, dans ces conditions, les dérivées de n'importe quel 

 ordre convergent aussi uniformément. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Contribution à une étude générale des algo- 

 rithmes illimités. Mémoire de M. Dnouix, présenté par M. Appell. 

 (Extrait par l'auteur. Renvoyé à l'examen de MM. Goursat et Borel.) 



On n'ignore pas quelle énorme influence ont eue, sur le développement 

 de l'Analyse moderne, et même sur sa genèse, les méthodes de représen- 

 tation algorithmique des fonctions. C'est de l'étude approfondie de l'un, 

 très particulier, de ces modes de représentation, la série de puissances, 

 qu'est née la théorie des fonctions analytiques. C'est aussi grâce à la possi- 

 bilité d'assigner à l'avance à une fonction inconnue une forme particulière 

 de développement (compatible toutefois avec sa définition) qu'ont pu être 

 résolus un grand nombre de problèmes concernant les équations ditTéren- 

 tielles ou aux dérivées partielles qui interviennent en Physique mathéma- 

 tique, et dont les travaux de Fourier oiîrent le plus remarquable exemple. 



Toutefois, et à mesure que s'approfondissent l'étude des modes connus 

 de représentation, les mathématiciens modernes ont entrepris par d'autres 



méthodes réliide de fonctions diflicileinentou même non représenlables (*). 



« 



(') Cf. les travaux de M. E. Boulroux sur les équations dilTérentielles du premier 

 ordre, et de M. Lebesgue sur les fonctions non représentables analytiquement. 



