SÉANCE DU 3 OCTOBRE I()2I. 5^7 



Je me suis proposé ici un problème qui semble logiquement devoir pré- 

 céder l'étude directe des fonctions non représentables à l'aide des modes 

 connus, celui de V élude généjvi le des formes quelconques de représentation. 



Kn effet, étant donné que les développements en série de Taylor ou de 

 Fourier ont déjà permis, dans la classe des fonctions rcprésentables ana- 

 lytiquement, d'étudier un nombre considérable de problèmes, Ton peut 

 espérer que la connaissance de cette même classe serait singulièrement 

 étendue, si l'on pouvait utiliser d'autres modes de représentation, appli- 

 cables quand les précédents ne le sont pas ou lorsqu'ils conduisent à des 

 calculs pratiquement inextricables. Cette étude, pour être utile, ne peut se 

 borner à celle de quelques nouveaux modes. particuliers de représentations; 

 elle doit envisager, dans toute sa généralité, le problème de la représenta- 

 tion algoritbmique. 



Plus précisément soit F une fonction représentée par un algorithme 

 formé d'une suile illimitée d'opérations exécutées sur une suite de termes «„, 

 ■a^, rto, ..., r/„, ...; dans l'étude de cette fonction interviennent certaines 

 -opérations que l'on doit exécuter sur elle, et dont nous désignerons l'en- 

 semble par E. Cela posé, pour que le mode de représentation adoptée puisse 

 servir utilement à l'étude de la fonction, il faut qu'il ne soit pas troublé par 

 l'exécution d'une opération de E, c'est-à-dire qu'une telle opération ait un 

 résultat représentable par un algorithme illimité de même espèce que le 

 premier, et déduit de celui-ci par de simples opéi-ations su/- ses termes. 



A toute fonction F représenlable analytiquement l'on pourra ainsi faire 

 correspondre un certain ensemble E d'opérations qu'il est nécessaire d'exé- 

 cuter sur elle pour pouvoir l'utiliser dans les problèmes considérés; pour 

 représenter F, il sera naturel de chercher à utiliser un développement dont 

 la forme se conserve lorsque l'on exécute sur F une opération de E. 



Dans le présent travail, je n'ai pas abordé l'étude même de la représen- 

 tation : je me suis borné à étudier, dans le cas le plus général, les formes 

 de développement ou algorithmes illimilés. Cette étude est intimement liée 

 à celle des systèmes de nombres dont l'étude fait l'objet de la première 

 partie de ce travail. Les opérations qui se présentent, dans cettè~etude, 

 comme primitives, sont celles qui conduisent de deux variables a, b, à une 

 troisièmes; et, dans le cas général, l'on est conduit à considérer les objets «, 

 b, c comme appartenant respectivement à des classes différentes d'objets. 

 L'on trouvera dans cette pi-emière partie une définition très générale des 

 systèmes de nombres complexes, qui comprennent comme cas particulier 

 les systèmes à n unités principales. 



