D^O ACADÉMIE DES SCIENCES. 



alors , 



©(^i) < Acp(.^o), 

 9(^2) < A9(.r,), 



o{x„) < A" ©(j:-o) 



et, par conséquent, 

 ou bien 



(i) log9(j:„)< « loi;A4-log9(x„). 



Or 



et alors 



et puisque 



ce ( j?„ ) > 9 ( e^-"- • ) > eP^"-i , 

 parce que la fonction m{x) est croissante, nous aurons enfin 



logcp(>r„) > 0.^0+ p(n — 1) /«(o-û). 



Ivtt tenant compte de l'inégalité (i), on en déduit 



n log A + log 9 (.^0 ) > p j7o + p ( « — I ) m ( J\) ), 



et, si nous faisons tendre n vers l'infini, nous obtenons 



A > e^""'^.\ 



Cette inégalité est impossible parce que nous pouvons bien choisir a\ 

 de sorte que la quantité g!^'" '» soit plus grande que A. Nous arrivons donc à 

 l'énoncé suivant : 



TiiÉonÈ.ME. — Pour toutes les fondions croissantes 9(^) satisfaisant à V iné- 

 galité 'f (^) >- oc^ (p >- o quelconque), l'addition à x de toute fonction m{x) 

 croissante telle que mÇx) ^ e^ altère l'ordre de la croissance de la fonc- 

 tion 'X/(x). 



