SÉANCE DU lO OCTOBRE I921. 071 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions (jui admettent plusieurs 

 théorèmes de multiplication. ?vote de -M. P. Fatou, présentée 

 par M. K. Goursat. 



Nous dirons avec Poincaré que la fonction analytique ^{u) admet un 

 théorème de multiplication si Ton a 



(i) o(/.7/) = R[9(«)], 



R étant une fraction rationnelle; nous laisserons de côté le cas simple 

 où R est du premier degré et nous supposerons que le point w = o est pour 

 la fonction 9 un point ordinaire ou un pôle; si c'est un pôle, il suffit de 



chano-er o en - pour obtenir une équation de même forme avec une fonc- 

 tion régulière à l'origine; si 9'(o) = o? on vérifie facilement qu'un change- 

 ment de variable de la forme v = au''' (m entier) conduit ù une relation de 

 même forme que (i) pour la fonction 6(ç>) = ^(m), /.• étant remplacé par /."' 

 et 0((') étant régulière et de dérivée égale à i pour ('=0. Si |/|<i, la 

 fonction 9 n'est pas uniforme; si | /.■ ] = i , la fonction 9, à supposer qu'elle 

 puisse exister, admettrait comme coupure une circonférence : u = const. 

 Si donc nous la supposons uniforme et à domaine d'existence illimité, on 

 a |yil>i; 9 est alors la fonction de Poincaré, méromorphe en général, 

 entière si R est un polynôme. 



La relation (i) donne par itération 



o{k"u)=zRn[oia)], 



et ceci nous conduit à la définition suivante. Nous dirons que 9 admet deux 

 théorèmes de multiplication essentiellement distincts, si l'on a 



(i) o{/c u)=zR[o{u)], 



(i') cp(//«) = S[9(«)], 



/,• et /.' n'étant liés par aucune relation de la forme 

 (2^ A"=/i'^ (rt, y> entiers). 



On suppose toujours que u == o est pour la fonction 9 un point ordinaire 



