5^2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OU un pôle. Les relations (i) et (i') entraînent Tidentité 



(3) S[R(^)1 = H[S(.-)]; 



les fonctions rationnelles R et S ne vérifient aucune relation de la forme 



(4) ï\„{z) = S,{z) 



pour des valeurs entières des indices d'itération, la relation (2) découlant 

 de la relation (4). La recherche de deux fractions rationnelles vérifiant 

 ridentité (3), mais ne vérifiant aucune identité de la forme (4), apparaît 

 ainsi comme une extension du problème qui consiste à trouver les fonctions 

 possédant deux théorèmes de multiplication distincts ('); en réalité le premier 

 problème se ramène au second, môme en y faisant les hypothèses |Z|> i, 

 j/' I ^ I et 9(0) = I, qui donnent par conséquent pour o(ii) une fonction 

 méromorphe de Poincaré; mais les deux aspects du problème sont utiles à 

 considérer. 



A la fraction rationnelle l\{z) est attaché un ensemble parfait F, celui 

 des points où les itérées Rrt(^) ne forment pas une suite normale, et de 

 l'identité (3) il résulte aisément que l'ensemble analogue attaché à S est 

 identique à F. A cet ensembleF du plan des;:;, la relation z = o(u) (o méro- 

 morphe) fait correspondre dans le plan des u un ensemble parfait H invariant 

 parles substitutions (« |/7/) et (u\/i'u), de sorte que si z/ appartient à II, il en 

 est de même, pour m, et m., entiers, de /{"''/x""'-u. Si l'on pose /• = r}"', k' -- é"-^, 

 'lir. ^= (0.5, les nombres co,, w^, 0J3 ne sont liés par aucune relation linéaire 

 et homogène à coefficients entiers. Deux cas sont alors à distinguer : 



i" Le rapport — est imaginaire et les points m.^bi.^Çm.^ ^ o) n'appartien- 

 nent jamais aux droites joignant deux points du réseau (oj,, w^); il résulte 

 alors d'un important théorème de Ivronecker que les points 



sont denses dans tout le plan. Par suite II recouvre tout le plan des//, F tout 

 le plan des z\ ce cas ne peut pas se présenter si R est un polynôme. 



(') On doit remarquer que la coexistence des relations (3) et (4) n'implique pas 

 que R et S soient les itérées d'ordre entier d'une même fraction rationnelle; si l'on sup- 

 pose fi et S de degré premier/? et déduites l'une de l'autre en efifectuant sur ; une substi- 

 tution linéaire elliptique d'ordre q qui leur est permutable, on a R,, = S,, et RS =: SR, 

 Ret S n'étant pas les itérées d'ordre entier d'une même fraction, l^ixemple : z -\- z^ et 



