SÉANCE DU lO OCTOBRE I921. 5']3 



2° Le rapport — est réel et incommensurable, ou bien, ce rapport étant 

 imaginaire, un point/JWs appartient à une droite du réseau (w,, Wo). 



Dans ce cas les nmltipiicateurs /'"> k''"' sont répartis d'une manière dense 

 sur un nombre Uni de droites ou de spirales logarithmiques issues de 

 l'origine. L'ensemble II est constitué lui-même par un assemblage de 

 courbes de cette nature et, s'il ne couvre pas tout le plan, un domaine A con- 

 tigu à II est limité par deux courbes de ce faisceau et de plus invariant par 

 (u\k'ni). D'une discussion que j'ai développée ailleurs ( /?. S. M. F., 1920), 

 il résulte alors que le domaine D correspondant du plan des :;. contigu à F, 

 simplement connexe, invariant par [5JR(:;)] et dont la frontière présente 

 des arcs analytiques isolés, est limité par une droite ou une circonférence, 

 les substitutions 11 et S étant de l'espèce très particulière que j'ai appelées C; 

 j'ai déterminé les substitutions de celte classe qui sont entières. On est 

 ainsi conduit aux résultats suivants : 



Toufe fonction o(//) qui admet deux théorèmes de multiplication distincts et 

 pour laquelle ;/ := o, est un point ordinaire ou un pôle est méromorphe ou entière. 



Toute Jonction entière de cette classe se ramène à u, e". cos // ou sin u parles 

 substitutions (u \ au'" ) eZ(^jAo -t-B). Les substitutions II et S correspondantes 

 se rajnènent à la forme Z = cz^ ou Z = z-P, ouTj ^± cos ( p arc cos 5). 



Pour le cas des fonctions méromorphes, je n'ai pas résolu la question 

 entièrement; les solutions nouvelles que l'on obtient sont telles que 

 l'ensemble F couvre tout le plan; parmi ces fonctions se trouvent des fonc- 

 tions elliptiques, comme il résulte des formules de multiplication ordinaire 

 ou complexe; mais il n'est pas prouvé que ce soient les seules. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Le théorème de Picaid-Borel dans la théorie 

 des fonctions entières. >ote de M. G. Valirox, présentée par M. Emile 

 Borel. 



La proposition classique de M. Borel : 



I. f{z) étant une fonction entière^ V ordre des zéros de /{^) — Jc est^gal 

 à V ordre de f(^z), sauf peut-être pour une valeur de x, se démontre par une 

 méthode bien connue dans laquelle on utilise la décomposition def(z) — x 

 en un facteur exponentiel et un produit canonique, et des approximations 

 de la valeur de ce produit canonique (' ). L'inconvénient de cette mé- 



(') Voir les Leçons sur les fondions entières de M. Borel, le Livre de M. Blumen- 

 thal sur Les foncUons entières d'ordre infini, et un Mémoire de M. Lindelôf (.4/i/i«/e5 

 de l'Ecole Normale , 1906). 



C. R., 1921, 2- Semestre. (T. 173, N" 15.) 4^ 



