57-4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ihode est de donner des résultats valables seulement dans les régions où 

 la croissance du maximum du module M(r) de f{z-) est comparable à 

 celle des fonctions fservant aux approximations. On peut obtenir des 

 résultats plus complets de la façon suivante : pour étudier le module de 



/(s) — X sur le cercle | ^ | = /•, on pose 



P(s, a?) étant un polynôme formé avec 'les zéros de f{z) — x dont le 

 module est inférieur à Ir (/>^> i) et Ç)(z,jr) une fonction qui est par suite 

 holomorphe dans le cercle | :; l^/rJ Dans le cas de l'ordre infini, dont je ne 

 •m'occuperai pas ici, on est conduit à pi-endre pour /■ une fonction de r, 

 mais pour l'ordre fini on obtient des résultat? intéressants en supposant 

 simplement que /■ est une constante. 



Le théorème fondamental de M. Borel relatif au minimum du module à 

 l'extérieur de petites régions entourant les zéros s'obtient en utilisant la 

 relation entre le maximum du module et le maximum de la partie réelle 

 d'une fonction holomorphe, on trouve que ce minimum est supérieur à 



/.• étant un nombre supérieur à i arbitrairement choisi et H une constante 

 dépendant de /•. 



En se plaçant à ce point de vue pour la démonstration du théorème I, 

 on trouve une proposition générale renfermant les résultats connus. L'ex- 

 pression qui s'introduit dans le théorème de M. Jensen joue un rôle 



essentiel; posons 



/•" 



r„^(x) désignant le module du m''"'"*' zéro non nul de /{:■) — ■/' et /i le 

 nombre des zéros de module inférieur à ;•; on obtient ce résultat : 



IL A tout nombre k supérieur à i, on peut faire correspondre un nombre 

 positifWiJi) tel que Les inégalités 



F(r, rO<n(/)logMf M, F(r, Z>)< !!( /.) log M( - 



ne peuvent avoir lieu simultanément à partir dhine râleur de r si a^ h. 



Pour toute fonction d'ordre fini p, il existe une suite de valeurs /' indéfi- 

 niment croissantes pour lesquelles 



(I) M(Ç\>}.\{kr)\ 



