SÉANCE DU 10 OCTOBRE I921. S-J^ 



A étant un nombre positif dépendant de c, Tinégalité ayant d'ailleurs lieu 

 dans les régions où M{r) est elTectivement d'ordre c, le résultat 11 renferme 

 donc le théorème I. On peut d'ailleurs régulariser la croissance de M(r) au 

 moyen de fonctions vérifiant la condition de croissance (i), et l'on déduira 

 de la proposition il un énoncé analogue à celui de M, Blumenthal pour les 

 fonctions d'ordre infini (grand théorème de M. IHcard), mais plus précis. 

 On voit que les fonctions pour lesquelles la condition (i) est vérifiée à 

 partir d'une valeur de ;• donnent un énoncé particulièrement simple et sans 

 doute définitif; on a 



F(/-, «)-^F(/-, b) = /i\ogM[r), 



h restant compris entre deux nombres positifs fixes. 



D'une façon générale, pour une valeur k donnée, le rapport de F(r, œ) 



à logM( -- j peut se comporter de trois façons différentes : 



1° Il peut tendre vers zéro lorsque /• croît indéfiniment. Ce cas ne peut 

 se présenter lorsque l'ordre n'est pas entier; dans le cas de l'ordre entier, 

 il peut se présenter elïectivement pour une valeur a^ alors pour h ^ a, 

 on a 



F(r, ô)>H(/OfogM(^lj 



(on retrouve ainsi, en particulier, les résultats obtenus par M. Lindelôf dans 

 le Mémoire cité et relatifs au cas de la croissance régulière, les autres 

 résultats de M. Lindelôf découlent de suite de la proposition II). 



2" La limite inférieure pour /• = oc dû rapport peut être positive : c'est ce 

 qui a lieu, quel que soit a?, dans certains cas de régularité (ordre non entier) 



ainsi que pour toutes les fonctions d'ordre nul telles que ^f' 'V soit 

 borne ( ' ). 



3*^ Les limites d'indétermination du rapport pour ?- = ^ peuvent être 

 dififérentes, la limite infi'Tieure étant nulle. Ce cas peut se produire pour un 

 ensemble de valeurs x- ayant la puissance du continu et partout dense,, aussi 

 bien dans le cas de l'ordre non entier que dans celui de Tordre entier (")• 



Je n'ai pu reconnaître s'il existe des fonctions pour lesquelles cette cir- 

 constance se produirait quel que soit x. 



(') Noir ma Thèse, en particulier page 82. 



(-) Voir ma Note Sur les zéros des fonctions entières d'ordre fini {Ilendiconti di 

 Palerino^ t. 43). 



