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Gryafellt, C.-F. Guilbert, Edmond Maillet, E.-A. 3Iartel, M. Mévard, 

 Henri Pieron, Louis Mexgaud, Marc Rubixstein, Sielr et Mercier, Paul 

 Stkoobant adressent des remerciments pour les distinctions que l'Académie 

 a accordées à leurs ti avaux. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la permutabilité des substitutions 

 ralionnelles ('). Note de M. Gaston Joli a. 



Deuxsubstitutions rationnelles[Z | R^ (Z)]et[Z 1 1\.,(Z)] sont permutables 

 siRJR,(Z)] = l{JR.(Z)]. 



J'étudie les propriétés des substitutions permutables, puis je résous, 

 dans la mesure du possible, le problème de leur détermination. 



I. i'' Tout point double a d'une itérée R',' deR, a des conséquents R.(a), 

 Ri;(a ), . . . qui sont points doubles de R'," et de même nature que a (répul- 

 sifs, attractifs ou indifférents). Les R!f'(a), ^- = 1, 2, ...,sont donc en 

 nombre fini et conduisent à un cycle de R^. Ce cycle de Ro est de. même 

 nature que le cycle de R, auquel appartient a. Il en résulte que deux cer- 

 taines itérées R'"' et R"'- ont au moins un point double répulsif commun. 



Soient E[i^ l'ensemble des cycles répulsifs de R, ; E^ l'ensemble analogue 

 pour R^. Leurs dérivés E^^ et E,'{_ sont parfaits et identiques. Mais Ej^^ et E,^ ne 

 le sont pas toujours, on le voit par l'exemple oùR, etRo sont les polynômes 

 exprimant sinS:; et sin5 :j en sin^ = Z. 



2° On montre que l'ensemble des points critiques des fonctions inverses des 

 R','"'' itérées de R,, est identique à V ensemble analoi>ue pour Ro. Mais 



(tP\""'> 

 l'ensemble des zéros des ' peut ne pas coïncider avec celui des zéros 



r/IV"-' . dPx""'' 



des — -—- : on le voit par l'exemple précédent. Tout zéro d'une ' ou 



dR["''-^ 

 bien est zéro d'une — ~—i ou bien appartient à un cycle de R2, ou bien est 



l'antécédent, dans l'itération définie par Ro, d'un cycle de R2. 



3° L'ensemble formé des points des cycles attractif s ou indifférents (multi- 

 plicateur <^ I ou = i en module) de \{^ est identique à l'ensemble analogue 

 pour R,. Car cet ensemble ne compte qu'un nombre fini de points et, à 

 partir de tout point a d'un cycle de R,, on obtient, parmi les R', "(a), un 

 cycle de R, d'ordre =d, (degré de Ro), parmi les R'.7"(a),.un cycle de R, 

 d'ordre =f/!^, etc. Tous ces cycles sont distincts et de même nature que le 



(•) CeUe Note sera développée dans un Mémoire inséré aux. Annales de V Ecole 

 Normale supérieure. 



