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Les équations cV Abcl 



F[Pm(Z)] = F(Z)+«i, F[R,(Z)]=rF(Z)4-«, 



ont la me me solution fondamentale holomorphe dans le domaine D^ du 

 point a =: co. De même les équations 



OTit la même solution fondamentale méromorphe dans tout le plan. 



IL i'^ Je résous le problème des substitutions Vv^ de degré ^ i permutables 

 à une substitution du premiei^ degré M.^. Deux seuls cas sont possibles : 



a. Ou bien on a \di forme canonique 



R,(^) = Zc'îl(Z^'), R.2(^) = ojZ, 03^/= i; 



dans ce cas rentrent, lorsqu'elles existent, les multiplications complexes 

 donnant/>(± iw) et /j(± o-m) (avec (7'+i = o) linéaires en p(u), et qui 

 sont permutables aux multiplications ordinaires donnantyD(K?/) en /?(//). 



b. Ou bien on a la forme canonique 



Ri =3 AZ'^ avec R2=r:o)Z, m"~^ (/« entier de sigoe quelconque). 



2" Si R, et Ro sont de degré > i et indépendants (R'^'^R';- pour tous 

 entiers X, et "Xo)^ on ramène la question à celle de la recherche de G(::) 

 méromorphe, avec deux théorèmes de multiplication. On démontre 

 que EJi^ se compose d'un cercle entier ou d\in arc de cercle ou de tout le 

 plan. 



3° Si E|;_ est le cercle trigonométrique (forme canonique), R, et Ro sont 

 à cercle fondamental et simultanément ordinaires ou sing'ulières de pre- 

 mière espèce. Cela ne conduit, en définitive, qu'aux formes canoniques 



R, = ZK., R2=AZ'^^ (A'^'-i=i) 



et aux théorèmes de multiplication de e". Si Ei. est Vaxe réel, on a ceux de 

 tang-5 qui en dérivent par une substitution homographique. 



4" Si Ep,_ est le segment ( — i + i) (forme canonique d'arc de cercle), on 

 est conduit aux polynômes exprimant cos(R^ ^ -+- £,?:) et cos(Ko -ir -}- e^t:) 

 en cos:: = Z (s,, s^ = o ou i; K, t., -\- £, et KoE, + co de même parité). Les 

 théorèmes de multiplication correspondants sont ceux du cosinus. On a 

 ainsi résolu complètement la permutabilité des polynômes indépendants {les 

 formes canoniques sont celles du 3° et du 4^") et trouvé toutes les fonctions 

 eutières ayant deux théorèmes distincts de multiplication. 



