SÉANCE DU ll\ OCTOBRE I92I. 693 



5° Si Ep,^ — tout le plan, je ne sais pas s'il y a d'autres fractions R, et Ko 

 que celles provenant de la multiplication des fonctions elliptiques ('). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur h's fonctions croissantes. 

 Note de _M. Théodore Varopoulos. 



1. Cette Note complète ma Communication précédente (-). Nous allons 

 ici étudier une classe de fonctions croissantes qui croissent de plus en plus 

 lentement. 



Soient les fonctions So(.r), S,(^), ..., ^k{-^), .•• qui croissent respecti- 

 vement comme les fonctions 



X, logj:, log2.r, .... log/,a-, .... 



Nous posons toujours le problème suivant : 



Chercher les fonctions croissantes m{.x) dont l'addition à x altère^ ou n al- 

 tère pas, r ordre de la croissance de la fonction croissante donnée. 



Suivant la même voie que dans mes Notes précédentes, je suis arrivé aux 

 résultats suivants qui répondent à nos problèmes : 



Théorème I. — Pour toutes les fonctions croissantes 



So(^). S.(.r), .... S,(i-). ... 

 et positives qui croissent respectivement comme les fonctions 



jc, logj7, ..,, log7,.r, ... 



l'addition à x de toute fonction m{x) croissante telle que m{x)^e'' altère 

 l'ordre de la croissance de fonctions croissantes données S(.r). 



Théorème II. — Pour toutes les fonctions S(.r) nous avons V inégalité sui- 

 vante 



S[.r + m(^)]<S(^)'^. 



G étant un nombre positif quelconque et supérieur à V unité, et m(x) étant une 

 fonction décroissante quelconque. 



(') Les résultats des paragraphes ■^." à 5° de la partie II ont été également obtenus, 

 et indépendamment de moi, par M. P. Fatou, qui vient de les exposer dans une Noie 

 aux derniers Comptes rendus. 



(-) Comptes rendus, t. 173, 1921, p. 569. 



C. R.. 1921, 2' Semestre. (T. 173, N" 17.) ^^ 



