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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur UTi groupe de substùutious algébriques {*). 

 \ote de M. P. Fatou, présentée par M. E. Goursat. 



Les groupes dlsconlinus do substitutions algébriques ont fait l'objet de 

 deux Notes importantes de M. Painlevé qui a étudié le cas où ces substitu- 

 tions sont de degré limité; les groupes de cette nature sont semblables à 

 des groupes linéaires (-). Quand le degré des substitutions n'est plus borné, 

 la question est beaucoup plus complexe et n'a pu être abordée que dans des 

 cas particuliers. Dans les Mémoires cités en note, j'ai étudié le groupe G des 

 substitutions définies par les équations 



(1) R„(.r)=.R,,(.,-). 



J\,i(x), 7i''""' itérée d'une fraclion rationnelle de degré g > i , j'ai formé, dans 

 les cas de discontinuité propre, les invariants de G, fonctions uniformes 

 de œ. Je n'avais pas fait la remarque, cependant presque évidente, que 

 G possède un sous-groupe invariant G' dont l'étude n'est pas moins intéres- 

 sante que celle de G; c'est le groupe des substitutions définies par les 

 relations 



(2) R„(.r) = R„(j). 



Pour une valeur donnée de //, cette relation définit un groupe fini G|, ; il est 

 évideni que G)^ est conlenu dans G,',^, et par suite que G', somme de tous 

 les G',, jouil de la propriété suivante : fe groupe dérivé d'un nombre fini 

 quelconque d'élémenis du groupe proposé est toujours un groupe fini. Nous 

 appellerons groupe quasi fini tout groupe infini qui jouit de la propriété 

 précédente. 



Supposons que R (.r) soit un polynôme; l'équation 



^^^ l!„-,(..-)-H.-.(/)^ "' '^'~ 



(') Noir PaiiNLKVî:, Sur les groupes discontinus de substitutions non linéaires à 

 une variable {Comptes rendus, t. llTi-, l'Sga, p. loqS); Sur une application de la 

 théorie des groupes continus à la théorie des fonctions {Jbid.. t. 118, 1894, p. 845). 

 — I'atou, Sur les é(juations fonctionnelles (3 Mémoires) (/>'«//. Soc. math. Fr.., 

 igig-içiao); Sur les fonctions invariantes par une substitution rationnelle {/bid., 

 en coins d'impression). 



(-) Nous disons : « groupe fini ou infini » au lieu de « groupe contenant un nombre 

 fini ou -une infinité dénomlnable d'opérations » ; « groupe linéaire » au lieu de 

 « groupe lini ou infini de substitutions du premier degré ». 



