SÉANCE DU 24 OCTOBRE 192I. 695 



est en général irréductiljle. H suffit pour qu'il en soit ainsi que les racines r/, 

 Z>,.. . du })ol}nome dérivé R'(a7) soient simples et que l'on ait toujours 



pour deux racines distinctes, quels que soient/; et 7, et 



l\,,{a)p:zR,j{a), 



si p^q. La courbe (3) de degré 0" — 0"-' est alors sans point double, 

 donc indécomposable. Indiquons à titre d'exemple qu'en posant 



les conditions précédentes sont remplies pour o < | i- ! < i . 



Si nous prenons pour H(^) une fraction rationnelle arbitraire, l'équa- 

 tion (3) représente une courbe de degré a„ = 2(0" - g''-' ). avec deux 



points multi])les d'ordre-^ à tangentes distinctes, à Tinlinisur les axesdes.x- 

 et des y; une pareille courbe est nécessairement indécomposable, n'ayant 

 pas d'autre point singulier; son genre est ('^ — i j". Ceci arrive quand 



sont remplies des conditions semblables à celles de tout à l'heure pour les 

 polynômes. 



C'est là le cas général ( '), mais il peut arriver que F„ se décompose et 

 même en un produit de facteurs linéaires; exemple : R(x') = .x''. Soit en 

 générai L le groupe linéaire contenu dans G'; L peut être fini et coïncider 

 avec l'un quelconque des groupes connus de cette espèce; sinon L est 

 quasi fini. Or tous les groupes linéaires quasi finis sont semblables à des 



diviseurs du groupe continu (j?; ^^'^'-j?) avec adjonction éventuelle de (^;-)- 



Ceci ne peul arriver dans le cas actuel que si la substitution [./;; R(.:r)J est 

 la transformée linéaire de (o;;^*^^); L et G' sont alors identiques et se 

 ramènent au groupe des substitutions (.r; ix), les z étant les racines des 

 équations t'^"=: i .• 



Il peut arriver également que les F„ se décomposent en courbes de degré 

 fixe >i (nécessairement de genre zéro ou un). Car, si l'on pose : 



(') G' ne possède alors d'autre sous-groupe que les groupes finis G'^. 



