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(p, fonction de Weierstrass), l'équation I{j,(x) —J\„(y) équivaut à 

 u = ± ç ^ h (h =z 2.-" X période) ; on applique alors la formule d'addition 

 de pu et Ton est ramené à l'un des cas de M. Painlevé. Je ne connais pas 

 toutes les formes de R(.^) pour lesquelles cette circonstance se présente, 

 mais il n'en est pas ainsi quand G' est proprement discontinu. 



Le cas le plus important de discontinuité propre de G' est celui où 

 [a?; R(^)] possède un point fixe de multij)licateur .y, tel que 0<<|5|-<i, 

 ou encore s=^-\-i, la discontinuité ayant lieu dans le domaine invariant D 

 qui est étudié dans les Mémoires cités. Tl est facile de trouver les points fixes 

 des substitutions de G' ; le fait intéressant est celui-ci : les points fixes inté- 

 rieurs àYS ou sur sa frontière n appartiennent qu'à un nombre borné de substi- 

 tutions distinctes (*). A ce point de vue, G' est à rapprocher des groupes 

 fuchsiens de la première famille (exclusivement); mais il a une structure 

 essentiellement différente puisqu'il est quasi fini et que les groupes linéaires 

 quasi finis (voir plus haut) ne sont pas discontinus. Il existe une fonction 

 uniforme et holomorphe dans D qui est pour G' un invariant absolu et 

 caractéristique*, c'est la fonction u = ^(-3^) de M. Kœnigs, solution fonda- 

 mentale de l'équation de Schroder : 



i[R(.r)] = ^2(:r) (o<|5|<i). 



et pour ,ç = 4- I, la solution fondamentale de l'équation d'Abel : 



(-)[R(.r)] = 0(a.-) -t-const. 



Toutes les valeurs de la fonction ']^(«), inverse de Z, [ou y (u), inverse de 0], 

 se déduisent d'une seule d''entre elles par les substitutions de G'; les points cri- 

 tiques (algébriques) de -^ sont de la forme -^ (/z = o, t , 2, , . . ; les A;, en 



nombre fini); ceux de y sont B^^H- /i co (tî = 0,1, 2, . . . ; les B;t en nombre 

 fini). En outre l'oo est un point critique transcendant de ^ et ^, les fonctions i] 

 et admettant des chemins de détermination infinie qui aboutissent aux 

 points frontières de D, tandis que les fonctions fuchsienncs de la première 

 famille n'ont évidemment aucune valeur asymptotique aux points frontières 

 de leurs domaines d'existence. 



(*) Une seule, dans le cas général. " 



