7-54 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les familles complètes de figures inlégrales 

 d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre ^ et sur 

 r application de leurs propriétés à la théorie des systèmes dijférentiéls quel- 

 conques. Note (') de M. Riquikr. 



Dans wac Note réwtite (-), nous avons étendu aux syst-èmcs complè- 

 tement intégrabk's du premier ordre les notions classiques relatives aux 

 intégrales complètes de Téqualion aux dérivées pàrlieiles p =y(.T, j, s, q) : 

 la présente Noie a pour objet de formuler avec plus de généralité le résultat 

 obteuu, et de montrer comment il s^applique à un système diffénmtiel de 

 forme et d'ordre quelconques, moyennant une réduction préalable de ce 

 dernier. 



f. Soit S un système complètement intégrahle du premier ordre, où se 

 trouvent engagées des fonctions inconnues en nombre /•, des variables iiVdé- 

 pendanles en nombre //, et dont le damier, construit à l'aide du mécanisme 

 que nous avons décrit dans la Note citée, conti<'nt des cases vides, en 

 nombre /, disposées d'une façon quelconque : toute famille complète de 

 figures intégrales ordinaires du système S dépend alors, comme il a été dit, 

 de /■ 4- / constantes arbitraires ou paramètres. Soient m le plus petit des 

 deux entiers /i, / (d'où résulte /.' H- / — m^/.), ety un entier auquel on attri- 

 buera tour à tour les w + i valeurs vérifiant la double relation 



A- 4- / _ m < / < A- + /. 



Cela posé, et une famille complète de figures intégrales ordinaires du sys- 

 tème 'è étant supposée connue^ il suffît, pour avoir sans aucune figure étran- 

 gère toutes les figures intégrales ordinaires de ce système, d^ effectuer de toutes 

 les manières possibles V opération consistant à rerriplacer, dans h^s relations qui 

 définissent la famille, j des h -\- l paramètres qui y figurent par autant de 

 fonctions arbitraires des l>- -^ l — ,j paramètres restants, et à prendre, lors- 

 qu elles existent, les enveloppes des sous- familles ainsi obtenues. 



L'entier y recevant tour à tour m -\~ i valeurs^ im peut partager en jn -\-i 

 groupes correspo'hdaTits lès fi'gu'réfs intég^ales ordinaires 'd'é S; 'oes groupes 

 nont deux à deux aucuiie figure commune. 



II. Ge résultat une fois acquis, il était intéressant d'examiner si un sys- 



(') Séance du 24 octô'bre 1921. 



(-) Comptes rèndtès, t. 17'2, 19^1, p. •'629, 



