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une relation linéaire entre u et sa dérivée normale ('). Ainsi, ponr former 

 la fonction de Neumann, il suffit de preudre 



Ce que nous venons de dire s'étend aux équations à Ji variables (^). La 

 fonction V relative au problème de Neumann est alors -^^^^j H — ;;^,- 

 II. Soit maintenant l'équation 



(i) ^'^"+2]"'-^"ii7^. (>'-^/^<v^). 



la notation A^ signifiant que l'opération -r—i + yn ^^^ répétée p fois. La 

 solution fondamentale de l'équation \''ii = o est 



/■2/-2 r ,• = ^ (pp')"-' [-CP + Cp']. 



p = a; — H 4- i{y — -n), p' ^^ X — ç — '(.'' — '^i)- 



u 

 Proposons-nous de former la fonction (?(n, P), solution de l'adjointe 



de (i) relativement au point 11 et s'annulant sur un contour ferm('' C, ainsi 



que ses dérivées des jo — i premiers ordres. Nous utiliserons pour cela la 



fonction Y (II, P) représentée par la partie réelle de 



rj'" 



'P"-'KP-P-; 'CP, + '.,"!^^^^' +•..+ V,'>-^ 



(V'-'pr'ro, 



On '"' uni'-' 



X,, ..., A^,_, étant des coefficients numériques qui se déterminent très faci- 

 lement en écrivant que V et ses p — i premières dérivées normales s'an- 

 nulent sur C. Dans cette expression, p, désigne la quantité complexe 

 X — 'c^~{- i\y — Y],) et rt désigne la direction de la normale intérieure pas- 

 sant par n (direction du vecteur mil = 0). 



La fonction (j* s'exprimera alors, comme nous l'avons expliqué dans la 

 première Note citée [équation (3)], à l'aide d'une fonction inconnue qui 

 sera solution d'une équation de Fredholm du même type que l'équation (4) 

 (p. 611). Au moyen de (j", nous pourrons écrire immédiatement, par appli- 

 cation de la formule de Green, la solution de l'équation (i) prenant des 

 valeurs données sur C ainsi que ses p — i premières dérivées; ici encore, on 

 peut faire !a repré'sentation conforme de C sur un cercle. 



(') Comptes rendus^ t. 171, 1920, p, 840. 

 (^)/W«?.,éq. (7), p. 84o. 



