764 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



R R 

 angles et des lignes de courbure^ les rapports -^, et-^ étant aux points homo- 

 logues égaux et de signe contraire. 



La condition nécessaire et suffisante pour qu'un couple S et S, soit solu- 

 tion de P, ou Po (à IVxclusion de l'autre, bien entendu ) esl que S et S, soient 

 en correspondance con forme et que leurs images sphériques soient également 

 en correspondance conforme. 



Une similitude effecture sur S ou S, ne change licn et sera négligée; une 

 solution banale de P,, à savoir S et S, semblables, sera nc'gligée, 



2. S sphère est solution de P, ; S, est alors celte même sphère mise en 

 représentation conforme sur elle-même; S sphère est solution de P^; S, est 

 alors une surface minima quelconque. S surface minima est solulion de P, ; 

 S, est alors une surface minima quelconque; S surface minima est solution 

 de Po; S, est alors une sphère. Ecartant désormais le cas de S S])hère ou 

 surface minima, nous pouvons mettre le problème en équation en suppo- 

 sant S donnée et cherchant S, ; toute la difficulté revient à trouver une 

 fonction k telle que, l'élément de l'image sphérique de S étant 



da- = e' du- + g- dr^, 

 l'élément analogue pour S, soit 



dl7-^ = /.- ( e- du- -+ 1;- dr-) ; 



cela entraîne que k satisfasse à une première équation E aux dérivées par- 

 tielles du second ordre, d'ailleurs linéaire, commune à P, et P.. Exprimant 

 ensuite que les surfaces S et S, sont elles-mêmes en représentation conforme, 

 il faut ajouter une nouvelle équation, E' pour P, ou E" pour Po, aux dérivées 

 partielles du second ordre, (|ui est d'ailleurs une équation de Laplace; E' et 

 E" ne diffèrent que par le terme en k. Le système (E, E') ou (E, E") en 

 général est incompatible; si S est choisie convenablement, le système est 

 compatible, il n'est pas en involution et Ton démontre aisément que la 

 fonction X- ne peut contenir que deux paramètres au plus, paramètres de 

 forme pour S, ; la solution k étant obtenue. S, est unique et la correspon- 

 dance (S, S,) unique aussi. 



3. S surface de révolution quelconque est solution de P, ; S, est alors 

 aussi de révolution et dépend elïectivenient de deux paramètres. On est 

 rajnené au problème classique : trouver les représentations conformes sur 

 elle-même de la sphère, où méridiens s'échangent entre eux ainsi que 

 parallèles. 



