SÉANCE DU 2 NOVEMBRE I921. y65 



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Un groupe remarquable s'obtient en supposant de plus —7 constant, ce 



qui détermine complètement la surface de révolution, sauf similitude. 

 S, coïncide avec S, mais non point pour point. Une telle surface admet -rj- 

 auto-représentations conformes du type t\. 



Nous allons voir aussi que S surface de révolution est aussi solution 

 deP,. 



4. Une surface isothermique S est solution de Po; en général S, ne dépend 

 d'aucun paramètre, c'est la surface isothermique associée à S : les plans 

 tangents aux points homologues sont parallèles, autrement dit les images 

 sphériques coïncident. 



Une remarque simple augmente encore les relations mutuelles de P, 

 et P. : supposonsqu'une surface S solution de P, soit isothermique (c'est le 

 cas précisément pour une surface de révolution); d'après P,, il lui corres- 

 pond une surface S, également isothermique; si 2 et H, sont les surfaces 

 isothermiques respectivement associées, il est bien clair que (S, I,) 

 et ( S, , 1) sont deux solutions de P^, et cette fois si dans de tels couples les 

 surfaces sont séparément isothermiques, du moins elles ne sont pas iso- 

 thermiques associées et les images sphériques diflèrent. D'ailleurs Z, I, est 

 un couple solution de P,. 



Donc S surface de révolution quelconque est solution de P.; les surfaces 

 S, correspondantes sont de deux espèces : d'abord la surface 2 de révolu- 

 lion isothermique associée, qui ne dépend d'aucun paramètre: puis les sur- 

 faces de révolution à deux paramètres 2, qui correspondent à X par P,. 



5. Existe-t-il des solutions différentes de P, ou Po? C'est un point qui 

 résulterait de l'élude des conditions de compatibilité de (E, E')ou de(E, E"), 

 mais que je n'ai pu élucider. 



6. L'étude des surfaces minima comme solutions de P, mérite de retenir 

 notre attention. Deux surfaces minima quelconques S et S, possèdent 

 deux ce' représentations conformes mutuelles du type P,. Deux quadra- 

 tures classiques ayant ramené sur chacune le ds- à la forme 



(0 «?.ï- = R ( dx"- + dy"- ) , ds\ = W,(dx\^ dy\ ) 



si a, fl, Y sont trois constantes arbitraires, les formules 



(2) X=aj?, -i-j3, y z=z cf.y^-^y 



OU 



(2') x^^a.y^-^-1, j — a:i-,H-[3 



résolvent complètement la question. 



C. R., 1921, 2' Semestre. (T. 173, N» 18.) ^^Q 



