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Mais on peut se placer à un point de vue différent : S étant une surface 

 minima donnée^ on peut chercher une surface minima S, telle que Xune des 

 correspondances P, entre S et S^ possède une propriété remarquable. 



M. Goursat l'a fait en 1888 i^Acta mathematica^ t. 11) : S étant lieu des 

 milieux [7. des cordes MM^ dont chaque extrémité est sur une courbe mi- 

 nima (M) ou (M^), on imprime à (M) un déplacement arbitraire D et 

 à (M,) un déplacement arbitraire D, ; M et M, devenant M'* et M"', le 

 milieu \j}^^' de M'*MÎ'' décrit une nouvelle surface minima S,, la correspon- 

 dance (u, y/*''') est du type P<. Si S est réelle, D et D, imaginaires conju- 

 gués, S< est réelle et dépend de trois paramètres de forme. 



J'ai montré moi-même aux Annales de V Ecole Normale (191 9) en étudiant 

 les courbes à torsion constante, puis au Bulletin de la Société mathématique 

 (1921), en étudiant le paraboloïde de Téyo\\\\.'\ox\^\)m^ aux Comptes rendus 

 (2 novembre 1920) qu'à toute surface minima réelle S correspondent co'-^ 



nouvelles surfaces minima S toutes réelles telles que chaque couple S, S 

 forme les deux focales d'une congruencerectiligne, les points focaux homo- 

 logues donnant une correspondance F,. Il suffît d'intégrer une certaine 

 équation de Riccati variable avec S. 



A un tel couple (S, S) l'opération de M. Goursat substitue de nouveaux 

 couples (S,, S,) possédant la même propriété, car l'opération DD, de 

 M. Goursat peut s'appliquer d'un coup à toutes les surfaces minima. 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Extension d'un théorème de Liouville au champ 

 de gravitation. Note de M. K. Ogura, présentée par M. Emile Borel. 



Dans la géométrie euclidienne à 72(71^3) dimensions nous avons le théo- 

 rème suivant bien connu : « Pour que l'élément linéaire de l'espace puisse 

 être représenté par la forme 



il faut et il suffit que 



r 



A ^ const. ou \ 



(.ri— «i)--+- (.î'o— «2)- + - . .+ {■X,,— a,,)- 



c, //, , . . . , a,^ étant constantes. » 



Considérons maintenant un champ de gravitation d'Einstein dans un 

 espace ride. On peut démontrer le théorème suivant : Pour que l'intervalle 



