SÉANCE DU 2 NOVEMBRE 1921. 767 



élémentaire de ce champ puisse être représenté par la forme 



ds' ^/'{t, JCi, x.,, J73 ) {dt^- — djc-j — d.r'z — da^l ) , 



il faut et il suffit que 



/=const., 

 ou 



/■ 



{jcy— «,)-+ (J^'o— «2)-+ (•a^s— «3)'-^ {f — «i)' 

 OU 



«, b, c, d étant constantes. Puis on jjé ut, à l'aide de transformations bien 

 connues ( ' ), réduire ds à la forme 



ds'zrz dl — di\ — dv^ — djii . 



Application . — Considérons un champ statique de gravitation dans un 

 espace vide. Si toutes les lignes dHnterseclion des surfaces appartenant aux 

 trois familles d'un système triple orthogonal dans l'espace sont des rayons 

 lumineux.^ cet espace-temps est euclidien. 



Prenons les trois (';! milles du système triple orthogonal comme para- 

 mètres î/, = const., Li. = const., «3 = const. L'intervalle élémentaire de ce 

 champ peut se mettre sous la forme 



• ds- = O' dl- — \\\ du \ — Hldu'l — Wldul, 

 OÙ o, H,, Ho, H.J ne dépendent pas de t. D'après le principe de Fermât 



/ - v^Hj du'\ 4- \\l dai -+- H^ da^ = <>. 

 nous pouvons écrire les équations différentielles des rayons lumineux ("). 



(') H. Batemax, Proc. London Math. Soc, 2* série, vol. 7, 1909; \ol.-8, 1910. — 

 Mathematical anatvsis of etectrical and optical wave-motion, p. 3i. — (Voir aussi 

 G. Darboux, Leçons sur tes systèmes orthogonaux, p. 167-169). 



(') Ces équations s'écri\ent 



duid-uj- dujdUii-^ j 'f } du] - j-^^ j'^/"}-^ j ^'^' ]'dii,dul - j ^'^^ I duj dal 



