SÉANCE DU y NOVEMBRE I92I. bl3 



M. F. Blaxchet adresse des remercîmenls pour la subvention qui lui a 

 été accordée sur le Fonds Bonaparte. 



M. /.. Barhillion, au nom de la Société des Amis du Laboratoike des 

 ESSAIS MÉCAMQiEs ET MÉTALM RGiQi ES DE Grenoble, adressc dcs remcr- 

 cîments pour la subvention qui lui a été accordée sur la Fondation LoulrcuiL 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur lute cla.ssc d' équations fonctionnelles. 

 Note de M. Gastox Julia. 



I. A toute fonction rationnelle Rf Z) ayant à l'origine un point double 

 répulsif, |R'(o) = .9|> I, correspond une fonction méromorphe /(-) 

 telle que 



/(5::).= R[/(.)], /(0) = 0, /'(0)=:l. 



On peut généraliser le problème et chercher, R, et R2 étant deux fractions 

 rationnelles de Z, s'il existe une fonction analytique G(Z) telle que 



(I) G[R,(Z)]=:R,[G(Z)]. 



J'appellerai Er, l'ensemble parfait des points Z où la famille des R*,"' itérées 

 de R, n'est pas normale, et E^ l'ensemble analogue pour R.. 



Si R, = Ro ('), G est permutable « R, ; si R, =;^ Ro, G est semi-permu- 

 table à (R,, R2). En remplaçant au besoin R, par une de ses itérées, ce qui 

 ne restreint pas la généralité, on ])eut supposer que R, a un point double 

 répulsif à l'origine. Et en remplaçant G par G — a si cela est nécessaire, on 

 pourra supposer que l'origine est point double de R,>. On peut supposer 

 que G est hoiomorphe en o, sans restreindre la généralité, car, à moins 

 que G n admette pour points singidiers essentiels tous les points de E'^^, on 

 pourra toujours choisir dans E'^^ un point double répulsif d'une itérée Rf , 

 où G soit hoiomorphe : c'est ce point double qu'on choisirait pour origine. 

 A supposer que G existe et est hoiomorphe autour de o, on démontre que o 

 est aussi répulsif pour R.. Si s^ et s.^ sont les valeurs de R', (o) et RKo)^ 



(') La recherche présente contient donc celle des fonctions permutables à une subs- 

 titution rationnelle Rj et n'admettant pas tous les points de Ei;, pour points singuliers 

 essentiels. J'ajoute que des cas particuliers de l'équation (i) ont été étudiés par 

 M. P. Fatou {Bull. Soc. math. Fr., 1920). 



