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1^,| et \s.j\ sont >> I et Ton a s., = s\ en supposant autour de o 



(2) G(/.) =A'aZ''+. . . (/ entier >o). 



Si r,(^) et TjC-) sont les fonctions fondamentales de K, et Pu, 



r,(5,c) -::H.[r,(..)], r,(o):-.o, r',(.>) = i, 

 r,(.s-,.^)^R,[r,(c)],, r,(o)==o, r;(o)=:.. 



on démontre que toute solution G de (i). holomorphe en o et dont le déve- 

 loppement (2) débute par g/,Z'' est donnée par 



(3) G,,iZ) = T,[^^,)y,{Z)\'^\: 



elle dépend de l'entier positif arbitraire K et du coefficient arbitraire ^>, 

 et :? = y, (Z) est la fonction inverse de la fonction Z = r,(î); on voit que 

 la formule (3) donne des solutions de (i) holomorphes en o. 



II. G(Z) étant supposé holomorphe en o se trouve définie pa?- (3 ) dans 

 tout le plan, et c'est une fonction en général multiforme à une infinité de 

 branches, dont la surface de Riemann est celle sur laquelle la fonction 

 inverse de ri(^) est uniforme. G a donc des points critiques algébriques 

 et des points transcendants qui sont en général ceux de y, (Z), lesquels 

 sont bien connus. En tout point Z, (pii n'est pas une valeur exceptionnelle 

 de r,(5), G(Z) a au moins une branche méromorphe ou algébrique. En 

 un point Z qui est valeur exceptionnelle der,(;), toute branche de y, (Z) 

 devient infinie et a un [>oint critique transcendant, donc G(Z) a en général 

 en ce point im point critique transcendant ou un point singulier essentiel 

 ou les deux à la fois. Si R,(Z) n'est pas la transformée homographique 

 d'un polynôme ou de Z^'', F, n'a pas de valeur exceptionnelle; si R, se 

 ramène à un polynôme différent de VJ\ T, a une valeur exceptionnelle; 

 si R, se ramène à Z-/', il y a deux valeurs exceptionnelles. 



Il arrivera, en général, qu'un pareil point exceptionnel Z soit à la fois 

 point critique transcendant et point d'indétermination complète de G(Z). 

 Exemple : 



Ri:=:Z'; R.^=2Z- — i; G(Z) :r= cos< y ^log/ 



en posant /• = r, o-^= i , le point double répulsif étant Z = i ; car 



V, = ("", r.2r3 cosf y'2 ;. 



G a en o et o; deux points crilicpies transcendants et essentiels. 



III. L'équation (i) a-t-elle des solutions uniformes dans tout le plan ? 



