SÉANCE DU 7 NOVEMBRE 1921. 8l5 



Si Ton suppose qu'une pareille solution d n'admet pas pour points sin- 

 guliers essentiels tous les points de E'^, les raisonnements de I et II prou- 

 vent que (r est partout méromorp/ie dans le plan, sauf peut-être aux points 

 qui sont des valeurs exceptionnelles de r,(^)' c'est-à-dire valeurs excep- 

 tionnelles dans l'itération de K,(Z). 



Il y a donc trois cas : 



1° II, ne se ramène ni à Z-'' ni i\ un polynôme. G est méromorphe 

 partout. C'est une fraction rationnelle. Toute solution uniforme de (i) 

 sera rationnelle^ ou admettra tous les points de E,.^ pour points singuliers 

 essentiels. 



2° R, se ramène à Z-'' par une même substitution homographique sur Z 

 et 1{,(Z). Toute solution uniforme de ( i) : 



a. Ou bien admet tout point de E,,^ comme point singulier essentiel : 



b. Ou bien es,i rationnelle : 



c. Ou bien admet les points o et ce (points exception lu'ls de l\i)pou/' seuls 

 points singuliers essentiels. 11 est remarquable dans ce cas c que si l'un des 

 points o ou ce cesse d'être essentiel, Tautre cesse de Têtre aussitôt et la solu- 

 tion devient rationnelle. Dans ce cas, G, lorsqu'elle n'est pas rationnelle, est 

 toujours d'ordre nul. On forme un exemple simple avecli, = Z'', F, (r) := c , 

 point double Z = i , en prenant T(z)=p(^z -hr.i) [/j(^) fonction elliptique 

 de \A eierslrass aux périodes 2.-1, a], ce qui donnerfs) = A„ 4- A , s' -h . . ., 



puis7(r.) = ^— = I 4- a.:?' -I-...; on prendra r.A'z) = -; i/^ et l'on, 

 aura rj-K- 1 — Ro|l\(;)]. U., étant rationnelle, avec Z = i pour point 

 répulsif. Alors avec K — 2 et ^^=: u, on aura G[Z | = — • r[logZ], d (Z) 

 est uniforme et o et ce sont ses deux points singuliers essentiels. 



En prenani R, = Z-, II., = 2Z- — i, K = 2. 0-,^= ;^, on a G = - ( Z -h y j 



qui est rationnelle. 



3° Si R, se ramène à un polynôme P(Z\ toute solution uniforme de(i ) : 



a. Ou bien admet tout point de E|._ pour point singulier essentiel; 



b. Ou bien est rationnelle ; 



c. Ou bien est une fonction méromorphe d ordre nul. 

 Voici un exemple de ce dernier cas : 



Je prends P(Z) = 2Z-— i; Z = i est point double répulsif !',(::) = cos/ v'^- 

 à partir de la fonction /?(«/) de Weierstrass, aux périodes 2-, «, je pose 



