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permet de définir une solution de (i) dépendant de p constantes (p'<ip, 

 l'égalité étant toujours possible). Il ne saurait s'agir d'expliciter ici les 

 calculs. 



On obtient ainsi toutes les solutions de (i). 



D'où la conclusion énoncée au début. 



Une conclusion analogue est valable pour toutes les équations inté- 

 grales de la provenance indiquée plus haut, et qui rentrent toutes dans la 

 forme 

 (4) f [F(a)-F(S)]N(a, (3) ./;3 + G(a) F(a) = log| F' (a) | + H (a), 



' 



où jN, g, h sont ti'ois fonctions données, dont la première devient infinie 



comme pour a = p. 



- — P 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement d' une fonction arbitraire 

 en série suivant une suite de fonctions données. Note (') de M. Kyrille 

 PopoFF, présentée par M. Hadaniard. 



Soit 



ri(.r), <',(^), ..., tv(.r) 



une suite de fonctions continues orthogonales et normales dans l'inter- 

 valle (rt, /v), c'esl-à-diie telles que Ton ait 



Nous supposerons que toute fonction ^{x) ayant une dérivée peut être 

 développée en série suivant les fonctions ^'/(^j, d'après la formule 



(i) V{x)=y^<>^{x)\ VU)v,{t)chr=y^v,{x)\ F{t)d v,{s)ds. 



Nous nous proposons de déduire de (i) un développement de la même 

 fonction F^^.t) suivant une autre suite de fonctions quelconques 



'\i{x) (f = 1, 2, . . ., GO) 



OU du moins de chercher les conditions dans lesquelles cela est possible. 



(') Séance du 2 novembre 1921. 



