SÉANCE DU 7 NOVEMBRE I921. ^819 



Plus «généralement, nous supposerons que toute fonction 1* (j?j qui admet 

 des dérivées jusqu'au (« + i)''""" ordre (n pouvant être nul) est dévelop- 

 pable en série suivant les ^,(^) d'après la formule (i). En intégrant par 

 parties n fois de suite et en appliquant après chaque inli'gration par parties 

 la formule (i), on obtient 



(2) 



F(.:r)-F(^.)-^:^^^t-(^/)-...- ^^ ,^^" F")(/.) 



V 





{s — /)" \\{s)ds 



dt 





''F("+')(f 



')! 





Nous chercherons à déterminer une fonction y(.r) telle que l'on ait 



(3) \\„{.,') = ¥{x)- Fi» - ^•^~^' f-(Z;)-...- ^^~,^'^" f>--0(/;) 



■24'.^^)/' 



''/'"-^''(D 



j (.v— /)-r,(,s-) 



ds 



dt. 



Pour cela nous poserons 



Kîi remplaçant, dans l'équation (3 ), ■^^^{oc) par r,(^) + o,(.r), on obtient 



n„[:v)= >^r,(.r)/ -^ / ' / (.v-r)"r,(5)r/.y 



et, en tenant compte de la formule (2), on aura 



di 



dl, 



)ds 



dt. 



où l'on a posé 



rn{a:) =--f{x) -J\b) _ i:LZ_^/'(6, -. . ._ ^JLzJ!lL fn.^,,) 

 , I ! II. ' 



Supposons maintenant que la série 



