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soit uniformément convergente et que K(a7, t) admette des dérivées par- 

 tielles par rapport à x jusqu'à l'ordre (w -h i) inclusivement; on peut 

 écrire 



R„(^) = ,-„(.r)— r /("+')(OK(.r, t)cU, 



et, en prenant la (/i -h iy^™« dérivi'e par rapport à x, 



(5) . F(«+')(:r) =:/(«+!) (j')-/ J;;^' \ /-("-^')(^)^//. 



a 



151 1 imite n est pas une constante caractéristique du noyau — -^ — , 



cette équation intégrale déterminera complètement la fonction inconnue 

 f^"'^^\x) et la formule (3) donnera le développement de la fonction donnée 

 F(^) suivant les fonctions '\'i{x). Ce développement contient en outre 

 n termes de la forme 



Considérons un cas particulier. Soit F(j;) une fonction qui admet une 

 dérivée première dans Tintervalle (o, 2:1) et 



V2/(a;) =r cosi\r. f2,+,(^) = sin/,r. 



Le développement (i) sera le développement de Fourier ordinaire. Posons 

 de plus 



{i.rY {i.rY (Li-y-i'i 



^.,,(.r) 



4! (2/./) 



1! 3! (27/^1)! 



Un aura alors 



oVi 



o < 0/, < 1 . 



On pourra donc choisir toujours/;, et q^ de façon que les séries 



lè.-{x)yi{œ) et lo,{x)\i{y) 



soient uniformément convero;entes, ce qui conduit au théorème suivant : 

 « Toute fonction qui admet une dérivée est développable en série suivant 

 les polynômes 'hi{x) définis plus haut. » 



