SÉANCE DU 7 NOVEMBRE I921. 82 I 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondions associées à un groupe 

 a auto gène y) de substitutions. Note de M. Pierre Boi troix, présentée 

 par i\l. Emile Borel. 



L'étude des écfuations différentielles du premier ordre m'a conduit à 

 définir (') des groupes de substitutions d'un type particulier, que j'ap[)el- 

 lerai désormais — pour abré<^er — « groupes autogènes » et qui sont carac- 

 térisés par la propriété suivante : Considérons dans le plan de la vaiiahle q 

 une fonction multiforme '\>{q) [ou plusieurs, maisje me bornerai ici au cas 

 où il n'y en a qu'une] et envisageons Tensenible des substitutions [çr, '|(^)], 

 correspondant à des branches quelconques de 'i/, ainsi que l'ensemble des 

 substitutions inverses et l'ensemble des produits de toutes ces substitutions : 

 l'ensemble total forme un groupe G. Soient, d'autre paît, '^^{q)^ '^-A/])^ ••• 

 des branches de '|/ en nombre limité respectivement liolomor])hes dans cer- 

 tains champs convenablement choisis F,, F., ... et telles que leurs inverses 

 T) '5 'j^j '* soient elles-mêmes holomorphes dans certains cbanips F_,, 



F_2, Appelons '|,(^), '^■>(^)^ '■{' '^(^)» ••• '^^ branches holomorphes 



Ym '^2? 'Yi^ 1 ••• (branches fondamentales) considérées exclusivement à l'in- 

 térieurdes champs respectifs F,,F,,F_,, .. ., et appelons (S,), (So),(S;'), ... 



les substitutions fondamentales [cj, '-}/, (//)(, \q, -^fq)], .... Je dirai que le 

 groupe G est un groupe autogène si l'une quelconque de ses substitutions se 

 trouve être un produit formé avec les substitutions fondamentales {-). 



On voit immédiatement quelle est la première conséquence de cette défi- 

 nition : bien que chacune des substitutions [y, 1, (//)], [q, '\>-.(q )|, • • • soit 

 multiforme, il suffit de connaître une détermination de chacune d'entre elles 

 pour pouvoir engendrer toutes les autres par multiplication : c'est là ce qui 

 justifie le nom de groupe autogène. Ou encore : considérons une détermi- 

 nation quelconque ■^^(q) à partir d'un point q : si q ârcvh un contour fermé 

 quelconque enveloppant un ou plusieurs poinis singuliers de '|, la détermi- 

 nation î(y) se change en '^(q) et l'on a •\/(q) = ^(q'), la valeur ^' étant 

 déduite q en opérant une combinaison des substitutions fondamentales 

 (S,), etc. — La même propriété caract<Tise la fonction inverse de '\'(q). 



(') Comptes rendus, 1919 et 1920; Annats of Mathematics, t. 21, 1920. 



( -j Ceci exige nalurellemenl que l'ensemble des champs F,, F2,, ,.., mais non point 

 nécessairement chacun d'eux, recouvre tout le plan q (ou toute la portion de ce plan 

 où la fonction 'h existe). 



C. R., 1921, 2* Semestre. (T. 173, N* 19.) 63 



