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Dès que Ton connaît un groupe autogène, on peut imaginer diverses 

 familles de fonctions correspondant à des fonctions classiques, mais s'en 

 distinguant en ceci que certains coelficients, constants dans les fonctions 

 classiques, sont ici remplacc'S par des paramètres qui subissent les substi- 

 tutions du gioupe autogène. Je vais d(Tinir r/yj/Vo/V quelques fonctions de 

 cette nature, me réservani de montrer ensuite que de lelles fonctions existent 

 efleclivenient. 



Fonction à n branches associée au groupe autogène. — La fonction j\x, ([) 

 de X sera ainsi qualifiée si : i" quel que soit x fixe, il existe n branches 



f\ {■''•> y); ••"ifn.^1 (f) qui se permutent entre elles et entre elles seulement 

 lorsque <f d('crit un chemin lernu' quelconque n'enveloppant aucun point 



singulier des branches fondamentales ];, (^), ... et de leurs inverses; 

 2" l'ensemble total des déterminations de / pour x ^ x^ q =^ q esl donné' 



par/]^, „(a7, q\ où y' a la valeur»/ ou Tune des valeurs dé'duites de y par 

 les substitutions de G. — Les points critiques de/(^-, </) qui correspondent 

 à des substitutions de G seront ti-anseendanîs. Tout autre point critique 

 n'échangera qu'un nombre fini de branches. 



Dans le cas où /i = i, la fonction /sera dite pseudo-uniforme. — Si une 

 fonction V de x est fonction à un nomhre fini de branches associ<'e à G et 

 pareillement la fonction inAcrse/sera dite pseudo-algébrique. 



Fonction pseudo-périodique associée au groupe autogène. — Ce sera une 

 fonction pseudo-uniforme ayant des propii(''lés pé-iiodiques de la forme 



\ V[.>-, y)=:l4.r + co,(^). V, I, 

 (••0 ¥{x.,q)'-s=¥{x.q,), 



où //,, y^, q, se déduisent de q par des substitutions de G. Dans la rela- 

 tion (2), les fonctions fiL,nirant dans les deux membres sont supposées être 

 des branches différentes de F; par contre, nous pouvons définir lesdites 

 branches de telle sorte que F désigne la même branche dans les deux 



membres des égalités (i). D'autre part, les « périodes » OL>,('«y), co.^(q) sont 

 de« branches de Jonctions ayant les mentes points singuliers que les fonctions 

 <7, et q, de q et respeclwernenl considérées dans les mêmes champs {exclusi- 

 vement). Parmi les égalités (i) et (2) auxquelles satisfait F, ne retenons 

 que celles qui ne sont pas conséquences les unes des autres. Par exemple, 



