SÉANCE DU 7 NOVEMBRE I921. 8^3 



supposons que les Iroi.s substilutloiis |<7, y,], .... fy, y.J, prises comme 

 substitutions fondamentales (S), suffiseni pour engendrer le groupe. G, et 

 que toutes les propriétrs périodiques de F se ramènent aux //W.y. égalités 

 (i) et (2 ) écrites ci-dessus (en particulier, donc, ces égalités permettront 

 d'engendrer toutes les branches de F connaissanL l'une d'elles;. Supposons, 

 déplus, que 1^' n'ait aucun point d'indétermination. Xous pourrons dire, 

 alors, que F est une ïoucùon pscudo-ehipliquc . 



Cousjdérons la fonction x de q définie par V(x, cj) = v. Je suppose que, 

 pour une valeur v et les valeurs voisines, ladite fonction xiq) acquière 

 n détej-minations et n seulement lorsque c/ décrit un chemin fermé quel- 

 conque n'enveloppant aucun des points singuliers (transcendants) 

 de F(j-, q) correspondant à des substitutions de G. En ce cas n aura la 

 même valeur quel que soit r : nous dirons que n est Vordre de la fonction. 

 iJans le plan x (pour q fixe) nous pouvons définir des réseaux de quadrila- 

 tères curvilignes (^ tels que V prenne la même série de valeurs sur deux 

 côtés opposés de l'un quelconque d'entre eux; à Tintérieur d'un Q, F est 

 holomorphe et prend n fois chacune des valeurs qu'elle ne j)rend pas sur le 

 contour. — Toute fonction pseudo elliptique est d'ordre fini. 



Une fonction pseudo-elliptique qui resterait finie dans tout un quadrila- 

 tère et sur son contour se réduirait nécessairement à une constante," 



Deux fonctions dont les propriétés |»ériodiques sont définies par des 

 mêmes égalités (i) et (2 ) seront dites avoir les mêmes périodes. Ft l'on a le 

 théorème fondamental : Deux Jonctions pseudo-elliptiques ayant les mêmes 

 périodes sont fonctions pseudo-algébriques lune de f autre (associées à G). 



Les égalités (i) et (2) subsistent lorsqu'on dérive par rapport à x. Donc 

 toute fonction rationnelle de F et ses dérivées est elle-même une fonction 

 pseudo-elliptique a>ant les mêmes périodes. 



L'intégrale <ï>(.3?, q) d'une fonction pseudo-eUiptique possédant lespro- 

 -priétés (i ).et (2) aura les |)ropriétés 



(T) «IV /, ./)z=a)|.r-hV,),(<7), ,y, I +6,(y) = 4)[u- v,,uy;, c/,_\ -f- S,^7); 



(•^') '^{^^:q) = ^{r,q,) + i,{q), 



OÙ 6,, ..., O.j ont respectivement les mêmes points singuliers que les, fonc- 

 tions correspondantes q, et to,, ..., q.^ el co, et sont considérées da-.is les 

 mêmes champs {^exclusivement). 



