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L'équation de Laplace-Poisson. — Si Fou pose 



U=: f¥{r)dr. 



U sera d.' la forme 



U^^, 



(j. désignant une constant*- positive, la même [)Our tous les éléments P. On 

 sait que U vérilie, en dehors du corps S, l'équation de Laplace, 



,3 ' ,,, d^u (T^v dai 



(o) AU ^E^ • H H r=z o, 



ÔJC' âf^ dz'^ 



et qu'à l'intérieur de la sphère S (supposée homogène) AU est égal à une 

 constante négative (équation de Poisson). Inversement, ces conditions 

 imposées à U, jointes à celle de s'annuler à l'infini, imposent à U (en 



dehors de S) la forme U = -• 



Il suit de là, comme on voit, qu'on peut donner à la théorie de la gravi- 

 tation newtonienne la forme suivante (principe de la moindre action) : l^es 

 trajectoires du point P sont les géodésiques du ds' 



dx^^ ({] -\- //) {d.r- 4- dy- -h dz'-), [h constante arbitraire), 



où U est une fonction de x, y, z qui s' annule ci r infini dont le AU est nul à 

 Vextérieur de la sphère S et est égal à une constante négative dans S. 



Ou pi'ut dire encore que U doit être une fonction de /■ cjui satisfait en 

 dehors de S, à l'équation de Laplace. 



Substituons maintenant aux coordonnées rectangulaires r, y, z des coor- 

 données curvilignes quelconques z/, c, (r. Le ds'- prend la forme 



ds- = {\}{u. r. w) 4- A] ] V. du--h 2F dit dit-{- . . . [ 



où E, F, . . . satisfont aux conditions invariantes (équations aux dérivées 

 partielles du deuxième ordre) qui expriment que le (h- est euclidien, et où 

 U(m, p, m^) satisfait à une équation aux dérivées partielles du deuxième 

 ordre, dont les coefficients dépendent de E, F, . . . équation linéaire où U ne 

 figure pas explicitement, et qui est également invariante. On a mis ainsi 

 les équations newtoniennes du point gravitant sous une forme invariante 

 dans n'importe quel changement de variables .vyo«//«/e.y( où /n'intervientpas). 

 Mais il importe de remarquer que, quelle que fût la loi de Tattraction 



