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On arrive donc, en ayant égard à la proposition citée plus haut, à cette 

 contradiction, que les coordonnées de la courbe du genre trois, cc''-\- y '=: i , 

 peuvent s'exprimer par deux fonctions uniformes de z. qui admettent le 

 ]>oint à rinfîni, comme point singulier essentiel isolé commun. 



Dune manière générale, on peut démontrer par le même théorème, la 

 pi'oposition suivante, dont je me bornerai simplement à indiquer l'énoncé, 

 car il est facile d'en faire la démonstration en faisant usage des mêmes 

 considérations que nous aurons à employer plus loin : 



/'(z) élant une l'onction entière quelconque, si les deux équations 



/(.)-^P(.) et /(,.)=: Q(.-:) 



ont chacune, dans le domaine du point à l'infini, un nombre fini ôe racines, 

 P et Q étant des fonctions uniformes dt'finies dans le même domaine et 

 telles qu'on puisse trouver deux nombres entiers positifs 7i:ll[ et />, de sorte 

 que chaque détermination de '{ l\z^) — (^{z^), so'il unifortue autour du 

 point |r|=cc, en l'admettant tout au plus comme point singulier isolé, 

 /{z) doit nécessaire ment se réduire, suivant les cas^ à un polynôme ou à une 

 constante. 



Envisageons maintenant, pour j tasser à une autre considération, une 

 relation algébrique de la forme 



( I ) .r/' 4- y'i = I ,, 



de genre supi-rieui' à l'nnitc', et remarquons que m(z) dt'signant un poly- 

 nôme en z, toutes les déterminations de \^t^(z""'), où m et n sont des entiers 

 quelconques, sont uniformes autour du point | :; | r= ce. Cela posé, /(:;) 

 ('tant une fonction entière diffi-ienle d'un polynôme, on sait, d'ajirès la pro- 

 position de Picard, que l'une au moins des équations 



(2) /{z) = Piz) et /{z)^Qiz), 



OÙ p et Q sont suppos<''s être, par exemple, pour sim[)lifier le langiige, des 

 fonctions rationnelles en z, à une infinité de racines. Je dis qu'on ne peut 

 supposer : i** que la première des é(piations (2) ait un nombre fini de 

 racines, et la seconde un nombre fini de multiplicité cjuelconque. et une 

 infinité de multiplicité multiple de «^2; 2" que la première des mêmes 

 équations, en ait un nombre fini de multiplicilé quelconque, et une infinité 

 de multiplicité multiple de p et la seconde, un nombre fini de raulliplicit<'> 

 quelconque, et une infinité de multiplicit»' multiple de q. 



La démonstration du premier énoncé se fait de la manière suivante (celle 



