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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégrale générale des systèmes cVèqua- 

 tions aux dérivées partielles des fonctions hy per géométriques d'ordre supé- 

 rieur. Note de M. J. I\ami»é de Féuiet, présentée par JVJi Appell. 



I. Toute fonction hypero'éométrique d'ordre to, à deux variables a? et y, 

 vérifie (*) un système de d(>ux é(|uations aux dérivées partielles linéaires 

 d'ordre to -h i, qui peut se mettre sous la forme 



•4- .t = O) 



V 



'(O.t /'(O.l 



«I.f.>/>K„)+ > (ir.xP 



/■ + S= 0) 



(I) 



I /^n.w + 1 = f^MApMA +■■•-+- f'i.,.,Puoy -+- 2 ^^'-'P '■■■'' 



les coefficients a et b étant des fonctions rationnelles de x et y. 



Je me propose d'indiquer d'abord une propriété générale des systèmes 

 de cette forme, qui suppose seulement les coefficients a et b tels que la 

 condition (rintégrabdité 



soit vérifiée identiquement et qu'aucun des o) délerminanls A,, A., 



' 1 . tO ' 



ne soit identiquement nul. 



i*^ Vintégrale générale du système (i) est une combinaison linéaire à coef- 

 ficients constants de (co -h i)" intégrales particulières indépendantes, formant 

 un système fondamental, c'est-à-dire telles (jue le déterminant d'ordre 

 (to -4- i)- formé avec ces fonctions et leurs dérivées ^^^. jusqu'à y^w, Xr^w, 

 ne soit pas identiquement nul. 



2° Soita?,,, y„ un point où les coefficients a el b sont des fonctions bolo- 

 morplies de œ, y et où les délerminanls A,, Ao, . . ., A^^ ne sont pas nuls; il 

 existe une et une seule intégrale holomorphe de(i), prenant en a\, y^ ainsi que 

 ses dérivées Pi 1^ jusqii'à jliM, k'ito, un système de (co -h i)- râleurs données à 

 V avance. 



3'' Lorsque p des déterminants A,, Ao, ..., A,„ sont identiquement nuls, 



(') Comptes rendus, t. 172, 1921, p. i634, et t. 173, 1921, p. 285, 4oi et 489. 



