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i" En faisant l'hypothèse qu'il existe un seul invariant du deuxième 

 ordre pour un des systèmes de caractéristiques, on est conduit aux deux 

 formes d'équation 



(et celle qui s'en déduit en permutant x et y). 



(II) •/• + a +yA'^(tangô— 9) = o avec ^ := |3 + 7 (col^ + (9), 



Si l'on suppose l'existence d'un second invariant du même système, on 

 peut affirmer que l'équation étudiée est de la forme (I) ou (11). 



2° Une équation de la forme (l) qui admet deux invariants du deuxième 

 ordre de mcme système se ramène à 



C'est une équation de la première classe qui admet comme invariants 

 les expressions //,, u.,, Vi, r^, définies par les relations 



I , , 



7 = «1 7.1 + "2Z25 ■">• + T7 = "1 7.1 + "2 7-2' 



> :- I .., 



Zt 



y \ et y., vérifiant l'équation 



dx- 



r/(.x') = o, 



^, et ^2 vérifiant l'équation 



— -r/(^)=:o. 



3° Une équation (II) qui admet deux invariants du second ordre de 

 même système se ramène à 



Kj^^ /■ -!- tang^ — ^ = avec l:=0 + col(j 



ou à 



1 



E3=/' + z + (l-^J2)- (tango — 9) 



avec 



+ cotÔ 



t — 



(14- y^)^ 



