gio ACADÉMIE DES SCIENCES. 



rélément linéaire de Tespace-temps à trois dimensions. Je vais démontrer, 

 dans cette Note, que Von peut déduire la jorme de Schwarzschild-Eddington 

 en tenant compte des conditions suivantes (au lieu de la loi de gravitation 

 d'Einstein) : 



1° La courbure scalaire G de r espace-temps à trois dimensions est nulle ('). 



2° V espace-temps à trois dimensions est euclidien à V infini (-). 



3° Le rapport de la courbure totale K de V espace à deux dimensions ayant 



Vêlement linéaire 



do- := X^ ( J^j ) dx\ 4- x\ dxl 



avec la courbure géodésique - (^) du rayon lumineux est constant. 

 En effet, de la condition i° nous tirons 



d (y df\ d ( f\ 



(') '-dr\lt^)-^-djX\)=''- 



En appliquant le principe de Fermât sur ds = o, il vient 



d'où nous obtenons l'équation du rayon lumineux 



a \f dx y±^x'\ — a- x \ / - dx.^ :=: o , 



a étant une constante. Par conséquent, la formule de Bonnet nous donne 



1 ._^ a df 



p' J?!^ dxi 



Puisque l'on a 



Xi A dxi \AJ 



(') S'il y a de la matière continue avec la densité f/, nous poserons 



G zz: 47T/J:.. 

 (^) Plus précisément, 



lim 'k{xi) = i, hm f{Xi) =z i. 



(Voir Laue, Relativildtstheorie, t. 2, 1921, p. 179.) 



(^) Pour la définition de la courbure géodésique n'empruntant que les longueurs 

 dans l'espace à deux dimensions, voir Darboux, Théorie des surfaces, t. 3, p. ii5. 



