SÉANCE DU 21 NOVEMBRE I92I. 9^^)5 



obtenue en remplaçante parles itérées successives de z^=zz''. Parla méthode 

 que j'ai exposée dans un Mémoire précédent ('), on démontre aisément 

 que, G étant un cercle quelconque de centre O, de rayon r>>i et C, le 

 cercle de rayon ?-'', il existe dans la couronne (C, G,) au moins un point z„ 

 autour duquel la famille des/^n'est pas normale. Dans l'ensemble des aires 

 (Q^= (^CDo)''", n = I, 2, ..., ce, décrites par e^" quand z décrit un cercle Oo 

 arbitrairement petit de centre :;„, f{z) prend toute valeur finie, sauf peut- 

 être une seule. La même propriété appartient à tous les points du cercle 

 I :; I = I z-o ! passant par z^. L'ensemble c des points où la famille des /„ n'est 

 pas normale est formé d'un ensemble (infini) de cercles de centre O, inva- 

 riant par les substitutions (-|:;^) et [z z' ) . Le cercle |-| = i, lieu des 

 points où les itérées de z^ ne forment pas une famille normale, appartient 

 à C. 



La propriété des points de C n'est pas intéressante pour les arguments des 

 racines de /(z) — a = o [a valeur ordinaire quelconque], car l'aire (côo)''"? 

 ©0 étant donné, contient toujours, pour n > /i,,, une couronne circulaire de 

 centre O. Elle n'est intéressante que pour les modules de ces racines, et au 

 lieu de considérer un petit cercle cD^ entourant z^, il revient au même de 

 considérer une couronne dont les cercles ont pour rayons j'q(i — z), 

 ro(i -h s), ^0 étant le module de z^, z arbitrairement petit. D'une façon 

 générale, toute couronne Y encadrant un des cercles dont est composé l'en- 

 semble C donnera naissance, par itération, à un ensemble de couronnes 

 qu'on désigne en abrégé par T^", et dans lesquelles /(z) prend toute valeur 

 (sauf peut-être une) une infinité de fois. 



Les considérations précédentes valent encore pour toute fonction méro- 

 morphe ayant au moins une valeur asymptotique. 



II. Il faut remarquer que dans un grand nombre de cas, C se compose de 

 tout le plan z ou du moins de la partie extérieure au cercle |e| = i. 



G'est le cas pour f(z) = c' et, d'une façon générale pour toutes les fonc- 

 tions entières ayant une valeur asymptotique finie ^ classe de fonctions qui 

 contient celles ayant une valeur exceptionnelle finie. La même propriété 

 est \ raie de toute fonction méromorphe ayant deux valeurs asymptotiques 

 distinctes. Et elle tient à ce que, dans toute couronne, comprise entre deux 

 cercles consécutifs de *l", où la famille des/(:j^") est normale, cette famille 

 a pour unique fonction limite, pour n = oc. la constante infinie, dans le cas 



(* ) Ann. Ec. ISonn. sup., 19-'-", et Comptes rendus, t. 168, iQig^ 



