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o\i/(z) est entière, el ceci est contredit par l'existence de la valeur asymp- 

 totique finie. 



Ifl. Au lieu de considérer les itérées de s, = z^, prenons les itérées d'un 

 polynôme quelconque z^ = P(^) et considérons le domaine 6^„ que Ton 

 appelle domaine de convergence immédiatyers l'infini, pour l'itération de P(g) 

 [on pourrait remplacer ^(z) par une fonction rationnelle, R(-s) admettant 

 r^c pour pôle multiple, et telle que, dans le domaine ffi„, R(-) n'ait pas 

 d'autre pôle que l'cc]. CO est borné par un ensemble parfait E', tout entier 

 à distance finie; en aucun point de E' la famille des itérées P'"^(::) n'est 

 normale. Dans l'exemple du 1, E' c'est le cercle | ^ | = i . Formons la famille 

 des /«(-) = /[P'" (s)] et étudions-la dans le domaine cô^ qui contient le 

 point essentiel delajfonction entière ^(5). Les circonstances sont analogues 

 à celles du I. Un tbéorcme de Bôttcher prouve en effet l'existence d'une 

 fonction ^I>(^), holomorphe à l'infini, et telle que 



0[P(:;)] = [«!»(..)]/.■ [A- degré de P(^)]. 



Posant Z = ^(-) le voisinage du point z = oo sera représenté conformé- 

 ment sur celui du point Z = co , et aux cercles | Z | = const. correspondront 

 des courbes analytiques F fermées s'enveloppant mutuellen^mt à l'infini. 

 A l'espace compris entre deux cercles | Z | = r et | Z | = r*^ correspond la cou- 

 ronne limitée par les courbes r|(î>(^)| = r et F, |(î)(^)|=: /'. 



Si la couronne (F, F, ) est soumise à l'itération indéfinie de ^, — P(-), 

 on arrive à recouvrir tout l'extérieur de F. 



Ceci étant, il y a dans (F, F,) au moins un point z„ où la famille des 

 ffi='/\^'"\^y] n'est pas normale. On en conclut, comme au 1, qu'en 

 aucun point de la courbe |<I^(-)| == l^ol ladite famille n'est normale. Les 

 courbes | <!>(:?)[ = const. remplacent ici les cercles |s| = const. du L 

 L'ensemble Cj. des points où la famille précédente n'est normale, com- 

 prend, au voisinage du point à l'infini, une famille de courbes fermées 

 analytiques ]$(:;) j =: const. s'enveloppant mutuellement jusqu'à l'infini, 

 et toutes celles qui s'en déduisent en prenant toutes les antécédentes de ces 

 courbes à l'aide des fonctions inverses des itérées P'" (g), ces fondions 

 inverses pouvant s'appeler P'""'(g). L'ensemble des courbes ainsi obtenues 

 a pour limite l'ensemble F/ signalé précédemment. L'ensemble £,. esl/ermé 

 et il contient E'. P(^) étant fixé, il arrivera que, pour un grand nombre de 

 fonctions entières, Cp j^ecoiwre tout le domaine ci?,,. Ceci arrivera certainement 

 dans les cas énumérés au II [valeur asymptotique finie et fonctions méro- 

 morphes ayant au moins deux valeurs asymptotiques distinctes]. On voit 



