SÉANCE DU 28 NOVEMBRE I92I. Io43 



tenant une nouvelle restriction, savoir que « la fonction est telle que les 



nombres 



I s.//, î//r/r| (/■ = o, I, 3, . . ., «; 7 = 0, I, 2, . . ., n + [) 



ainsi que les nombres | arg'j?^^ — arga?^,._, | restent tous inférieurs à une 

 quantité positive £ arbitrairement petite dès que n est suffisamment 

 grand ». Désignons par / la longueur de la circonférence E. On aura 



y V{x)oœ-y¥{x] 



Cm 



Co 



<c./. 



En faisant augmenter /i au delà de toute limite et en supposant l'existence 

 univo :|ue des sommes limites 



J¥{x) dx ^\\m./ V{x)ox, j F{x)dx = lim / ^ F (-g) 0^, 



la dernière inégalité donne 



XV {x)dx =. l V {x) dx. 



Désignons maintenant par m,, la valeur maximum de F(^), quand x 

 appartient au cercle Cy, et par /o la longueur de la circonférence de ce cercle. 

 Supposons que m^/,, descend au-dessous de toute limite en même temps que 

 le rayon de C^ s'approche indéfiniment de zéro. On déduit alors des trois 

 formules suivantes 



n 



2 V{x)ox =V F(.r„.,._i) (^o/-— ^'o./'-i ). 



/• = !_ 

 n 



2 I F(-'ro.,._,)| I .ro, — ^o./-i|^'«oA). 



Co 



2f(.^)<5. 



< 



Vf 



4-c./ 



J F(.r) dx = lim > V{x) ox = o. 



^ C„., 



Ce résultat peut être résumé dans le théorème suivant : 

 c( Soient E un cercle de centre zéro et de rayon R, et Co un autre cercle 

 de rayon R^. Considérons un ensemble de points ce''^Ro<p<R, partout 

 dense et un autre ensemble>ef< 3- < 2t: que nous supposons de même partout 



