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dense. Soit F(pe'^) une fonction donnée d'une manière univoque et ayant 

 une valeur finie pour chaque point pe'^. Supposons que cette fonction a la 

 propriété suivante : 



» £ étant une quantité positive arbitrairement petite, il existe toujours 

 d'autres cjuantités o et o, suffisamment petites telles que 



p , e'-^ I-' ( p 1 e'^ ) — pe'^ F ( p e'^ ) p e'^' F ( p c'^^ ) — p e'^ V ( p e'^ ) 

 ( p 1 — p ) e'^ p{c'^'~ e'-^ ) 



tant que 



o < I pi — p I < ; <» < I 2^1 — S' I < 0, . 



On aura alors, en supposant l'existence univoque des sommes 



y V{pe'^)p{e^^'—e'^) (I-l„^p,,H) 



< 



et en posant pour chaque p 



f 



V (a^) d,r 33: lim 



F(oe'^)o(e'^'— e''^), 



1^, 



Kc-, 



fv{x)d.T= f Y{.r)dx— f V[x)d.r. 



» Si, de plus, X appartenant à Co, F(:c) a une valeur maximum finie et 

 si le produit de ce maximum et de la longueur de la périphérie de C„ 

 s'approche indéfiniment de zéro en même temps queK|,->o, on aura 



X 



V {jc) dx ^= o. » 



Mon théorème comprend, on le voit, comme cas spécial, le théorème de 

 Cauchy, qu'on obtient en faisant subir àF(x') les nouvelles restrictions : 



A. F(£c) est uniforme et continue pour tout domaine à l'intérieur de E. 



B. ¥(^x) possède en chaque point appartenant à un tel domaine une 

 dérivée univoque, 



11 m 



i7ri~==:o 



F(.r 



F(^) 



= F'(a'). 



Ces deux conditions remplies, 



¥(p,c'^)-V{pe'^) __ V(pe'^^)-¥{pc'-^) 

 (pi — p)e^^ p ( e'^' — e'-^ ) 



tend indéfiniment vers zéro, tant que | q, — p |-- o, |.r-, — - j~^ o. 



