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I. Voici d'abord quelques résultats relatifs aux systèmes (A). Une équa- 

 tion du troisième ordre (E,), pour laquelle les trois directions de caracté- 

 ristiques sont distinctes, et telle que toutes les caractéristiques relatives à 

 une de ces directions sont du second ordre, est équivalente à un système de 

 Pfaff (A,) de cinq équations à dix variables de la forme (i) -t- (2) 



dz 







(^) 



dp 

 1 dv 



o, 



pdx — q dy 

 r d.T — s dy =; o, 

 • s dx — t dy = o ; 

 K dr + ^ ds -^ T) dx -\- Y. dy 

 Kds + \idt + ¥.dx + ¥ dy 



o, 



OÙ A, B, D, E, 1^' sont des fonctions quelconques de x, y, ~,p, q, /•, s, t et 

 de deux paramètres u et U. 



Une équation du troisième ordre (Eo), pour laquelle deux familles de 

 caractéristiques sont du second ordre, est équivalente à un système de 

 Pfafr(A2) de quatre équations à neuf variables de la forme (i) H- ('<^ ) 



( 3 ) A r/r -f- B <:/.s- -+- C di -h D dx -h E dy =: o , 



où A, B, C, D, ]i sont des fonctions quelconques de .r, y, ^,/*, Ç-, '', s, t et 

 d'un paramètre //. 



II. Considérons maintenant un système (A,), et supposons que par un 

 changement de \ariables il soit possible de le remplacer par un système 

 équivalent ( V,), de même forme par rapport aux nouvelles variables que 

 le système (A,), par rapport aux anciennes : ce système (A^) fournit une 

 équation (Ej) transformée de (E,). Ecartons le cas où le changement de 

 variables effectué comporte pour x, y, z, p, g, r, s, t des expressions résul- 

 tant d'une transformation de contact; il faut alors, en général, pour que la 

 possibilité énoncée se présente, que du système de relations définissant le 

 changement de variables, on en puisse déduire quatre telles que les sui- 

 vantes : 



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