SÉANCE DU 28 NOVEMBRE I92I. Io55 



Les transformations que l'on peut déduire d'un système tel que (4) ont 

 été étudiées sommairement ailleurs (') par des considérations toutes diffé- 

 rentes de celles de la présente Note. Nous ne trouvons donc pas à vrai dire 

 des transformations nouvelles, mais la méthode par laquelle nous les obte- 

 nons peut fournir, pour les étudier, des moyens beaucoup plus comujodes 

 que ceux qui résultent de la simple considération du système (4). 



Remarque. — Il arrive qu'entre les coordonnées d'éléments du premier 

 ordre, existent deux ou trois relations au lieu d'une seule. 



Au lieu d'un système (A,), on peut considérer un système (B,) de cinq 

 équations à onze variables, comprenant les équations (i) et deux équations 

 telles que (3) où les coefficients A, B, ..., E, A', B', ..., E' dépendent, 

 outre de x, y, z, p, q, r, s, t, de trois paramètres m, v, w. Un tel système 

 conduit, d'une façon immédiate, à une équation du troisième ordre, possé- 

 dant, en général, des caractéristiques du deuxième ordre dépendant d'une 

 seule constante arbitraire. Si l'on essaye de définir, pour celte équation, des 

 transformations par un procédé analogue à celui qui vient d'être employé, 

 on constate que la chose n'est possible que si le système (B^) est équivalen 

 à un système (A, ). 



IIL On peut obtenir des équations du troisième ordre comme résolvant 

 de systèmes de Pfaff de trois équations à huit ^a^iables. En voici un cas 

 différent de ceux qui sont d(''jà signalés; c'est le cas où le système est réduc- 

 tible à la forme (A3) : 



{ ' -^ Kdr ^ B ds + C dt. + \}dx + !•: dy . 



I dcf — s dx — l dy = 



OÙ A, B, c, D, E sont des foncliojis quelconques de x, v, />, </, r, .s, t et 

 d'un paramètre u. Il s'agit ici d'équations (E^) admettant deux familles de 

 caractéristiques du second ordre. D'une façon générale, nous avons vu 

 qu'une telle équation est (''quivalente à un système de PfatT(A;j) de quatre 

 équations à neuf variables. Si l'on peut tj'ouver trois équations de (Ao) for- 

 mant un système de classe 8 équivalent à (A3), il est clair que l'on a déter- 

 miné une transfoiMiiatioH pour (E^), et à toute solution de la nouvelle 

 équation correspondent des solutions de (E^) dépendant d'une constante 

 arbitraire. On constate, ici encore, que les fonnules du changement de 

 variables qui permet d'obtenir le système (A3) doivent contenir au moins 

 une relation où ne figuient que les coordonnées d'éléments du premier 



(') Sur les transformations.,.. {Journal de Mathématiques, t. 1, 1918, Cliap. II). 



