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ordre, et par exemple, s'il n'en existe qu'une, il faut lui adjoindre d'autres 

 relations comme on l'a fait pour construire le système (4). Les transforma- 

 tions envisagées rentrent donc dans une catégorie déjà connue; mais, 

 comme précédemment, il faut remarquer qu'il peut y avoir de grands avan- 

 tages à les étudier sous la nouvelle forme obtenue; une des bases de ces 

 recherches sera une étude systématique des systèmes de PfafTde trois équa- 

 tions à huit variables et de quatre équations à neuf variables. 



La généralisation des résultats présentés à des équations d'ordre supé- 

 rieur à 3 est innnédiate. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries S -^ — Note de M. J. W 



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présentée par M. l^mile Borel. 



La présente Note trouve son origine dans un entretien avec M. Arnaud 



Denjoy, où il posa la question : « Une série ^^ ^ _^' peut-elle être 



prolongeable dans les régions où sont situés les a/,, en supposant la 

 série H j \;,\ convergente? » 



On sait qu'une convergence suffisamment rapide de celte série entraîne 

 la prolongeabilité le long de certaines courbes traversant la région des ol^, 

 prolongeabilité non analytique d'après les belles recherches de ^L Borel 

 (voir par exemple Leçons sur les Fonctions homogènes), (^uant à la prolon- 

 geabilité analytique, dans des cas très étendus nous sommes sûrs de l'im- 

 possibilité, depuis les travaux de Picard {Comptes rendus^ 1881), Goursat, 

 {Bull. Se. l'ath., 2^ série, t. il, p. 17), Poincaré {Acln Soc. Se. Fennicae, 

 t. 13), Pringsheim {Math. Ann., t. 42, p. 44), Borel {Thèse et loc. cit.), 

 Julia {Bull. Soc. Math. Fr., t. 41) et autres. 



On pourrait être tenté de croire qu'une telle série ne peut jamais se pro- 

 longer analytiquement dans les régions des oc^r. Cependant il n'en est rien, 

 comme nous allons le voir. 



Soit C un cercle de rayon R et de centre O (^ = o). Nous pouvons, par 

 une infinité de cercles y/,., intérieurs à C, extérieurs l'un à l'autre, recouvrir 

 une partie de Taire de G dont la mesure égale l'aire de G = tR^ Soient a^ 

 l'affixe du centre de Ya et A;, l'aire de y/,. Considérons la série 



(') f{z)=y—^ pour |..1>R. 



