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suffit à entraîner la conséquence que les pôles apparents sont de véritables 

 pôles pour la fonction monogène, car elle est, dans cette hypothèse, pro- 

 longeable le long de certaines lignes dans les régions même où elle n'est 

 pas analytique. La question restait ouverte de savoir si les conditions 

 restrictives que j'avais imposées à la rapidité de la convergence de la série (2) 

 n'étaient pas trop restrictives et si la simple convergence de la séiie ne 

 permettait pas d'arriver aux mêmes conclusions; à cette question, qui lui 

 avait été posée par M. Denjoy, M. Wolff répond par la négative; il est 

 donc nécessaire d'imposer à la série (i>), pour que les pôles apparents de (i) 

 soient sûrement de vrais pôles, des conditions de convergence suffisamment 

 rapide^ sinon aussi rapide que celle qui résulte des conditions que j'ai 

 utilisées dans mes démonstrations; la détermination plus précise de la 

 nature de ces conditions de convergence est un problème qu'il serait fort 

 intéressant de résoudre. 



2, La série (i) définie par M. WolfF n'appartient certainement pas à la 

 classe des séries qui sont prolongeables dans les domaines que j'ai appelés 

 (C), domaines dans lesquels les points singuliers sont denses, puisque l'on 

 sait que dans ce cas les pôles apparents de la série soqI vraiment des points 

 singuliers du prolongement et que, d'autre part, d'après la théorie des 

 développements que j'ai appelés (M), lorsque le prolongement analytique 

 direct est possible, il ne peut pas conduire à une autre fonction que le pro- 

 longement au moyen des développements (M). La conclusion que l'on doit 

 tirer de ce fait est la suivante : considérons, avec M. Woliî, un cercle Cq et 

 un cercle C, intérieur à C,, (ou tangent intérieurement), puis le plus grand 

 cercle C^ que l'on puisse tracer à l'intérieur de G„, lorsque le domaine C, 

 en est exclu, puis le plus grand (') cercle C3 intérieur à C„, lorsque C, et Co 

 sont exclus, et ainsi de suite; les aires o-^, a-,, cr^, ..., t,;, ... des cercles C(,, 

 C,, G2, ..., C„,... forment une série convergente et l'on a 



nous pouvons ajjirnier que cette série converge moins rapidement que la série 

 dont le terme général serait e-''"' . Il y aurait intérêt à trouver directement la 

 valeur asymptotique de a„. 



Il n'est pas évident que le procédé que nous avons suivi et qui consiste à 

 prendre chaque fois le plus grand cercle possible soit celui qu'i conduise à la 



(') Dans le cas où il y a deux cercles maxima égaux, on prendra l'un quelconque 

 pour C;j. . ' 



